Rt: cosa sei?

Una buona notizia: a partire da lunedì primo febbraio la Lombardia è stata promossa, ed è diventata zona gialla anziché arancione. Allora, possiamo finalmente considerarci liberi dagli arresti domiciliari, uscire e divertirci?

Per rispondervi, consideriamo anzitutto il perché di questa improvvisa liberazione: è perché in quasi tutte le regioni italiane, tranne cinque, l’indicatore Rt è sceso sotto ad uno. Bellissimo; ma, cos’è questo indice, di cui si parla da tempo?

La definizione di Rt dice:

è una funzione di:
Probabilità di trasmissione (per singolo contatto) tra una persona contagiosa ed una suscettibile,
– Del numero dei contatti della persona contagiosa
– Della durata della contagiosità.

Quindi: c’è una persona malata che va in giro; quanto è probabile che ne contagi un’altra? Rt esprime matematicamente questa probabilità: se è maggiore di uno, prima o poi ne contagia un’altra e l’epidemia cresce; se è zero, nessuno si contagia e l’epidemia sparisce; tra zero e uno, in media, l’epidemia diminuisce, tanto più rapidamente quanto più piccolo è Rt.

Ovviamente ciò non significa che, ad esempio, con un Rt=0,5 ci vogliono due persone per contagiarne una: basta sempre un positivo solo per contagiare un’altra persona. Rt=0,5 significa che in quel momento, grazie alle misure di contrasto messe in campo, 1000 persone positive ne contageranno in media “solo” circa altre 500, ma non altre 1000 e, quindi, che se Rt rimane stabile, l’epidemia piano piano va riducendosi. Attenzione: non è che non ci saranno più malati; il loro numero diminuirà.

Allora, è chiaro cosa significa questo numero magico? Ribadisco il concetto: l’epidemia cala solo se Rt rimane stabile! Quindi, se ci precipitiamo tutti fuori, secondo voi, cosa succederà? Semplice, e già visto: Rt ritorna sopra a uno, e si ricomincia daccapo!

Per chiarirvi meglio come stanno le cose, il diagramma seguente mostra il coefficiente Rt per le varie regioni: la decisione di passare alle zone gialle è stata presa appunto sulla base di questo diagramma.

Innanzi tutto, come vedete, per ogni regione non c’è un solo punto per indicare Rt: invece, c’è un trattino verticale. Perché? Perché la misura di Rt include molte variabili, ognuna delle quali ha un margine d’errore: quindi, il valore reale di Rt può trovarsi ovunque, dentro a questa fascia.

Altra osservazione: non è che siamo in una situazione ottimale: i valori di Rt sono vicini ad uno, c’è poco margine! Questo è proprio quello che vi dicevo: non pensiamo di comportarci come l’estate scorsa, quando sembrava che tutto fosse passato! 

E cosa è successo l’estate scorsa? Eccovi la sintesi.

Ecco alcuni diagrammi di ciò che è successo. Il primo diagramma riporta, su base settimanale, sia gli ammalati totali che le persone guarite.

Vedete? Quello che è successo all’inizio della pandemia è pochissima cosa rispetto a ciò che ci è arrivato tra capo e collo in ottobre! Per fortuna, a fine gennaio la curva dei nuovi malati sembra voler scendere: per vederlo meglio, ecco il diagramma degli incrementi dei malati.

Come vedete nel diagramma seguente, gli incrementi (settimanali) dell’inizio pandemia sono stati quasi trascurabili rispetto alla seconda ondata. Perché? Non ho le conoscenze scientifiche necessarie per rispondere; dico solo che il lockdown totale di marzo-aprile, pesantissimo dal punto di vista dell’economia nazionale, è stato però efficace nell’abbattere il morbo.

C’è da chiederci se i diagrammi dicono tutta la verità. Voglio dire che i dati sono quelli effettivamente rilevati; però, c’è da chiedersi se il metodo utilizzato per i rilievi sia sempre stato lo stesso. Per capirci qualcosa, esaminiamo il seguente diagramma, che mostra il rapporto percentuale, mediato sulla settimana, tra i nuovi malati ed i tamponi eseguiti.

Come vedete, all’inizio della pandemia la percentuale era altissima, mentre nella seconda ondata era molto minore. Conclusione: tra la prima e la seconda ondata è aumentato di molto il numero di tamponi eseguiti; la statistica non è omogenea. Quindi, il grande numero di nuovi malati corrisponde all’aumento dei tamponi eseguiti, ciò che ha consentito di individuare anche molti malati asintomatici, che nella prima ondata non sono stati rilevarti.

Il diagramma seguente conferma quanto ho appena detto: infatti, mostra il numero di malati in terapia intensiva. Si vede chiaramente che i malati più gravi della seconda ondata sono in numero molto minore rispetto alla prima. Questo è un dato fondamentale, perché il numero di posti disponibili per queste terapie è limitato: gli ospedali possono saturare rapidamente la loro potenzialità.

Si vede anche che, a fine gennaio, l’andamento attuale della terapia intensiva è favorevole: questo fatto, assieme alla riduzione del numero dei nuovi malati, è la risposta alle misure prese e dal nostro ragionevole comportamento.

Ultimo dato: le vaccinazioni! Al 30 gennaio 2021 abbiamo raggiunto 1.800.000 prime vaccinazioni e 480.000 richiami. Speriamo che si continui di gran carriera; ad ogni modo, gli operatori sanitari saranno presto tutti vaccinati.

Concludo raccomandandovi di non dimenticare le buone regole di comportamento: distanza, mascherina, limitazione dei contatti sociali. Ancora qualche mese di pazienza, e ne saremo fuori! 

Ultimo monito: ne saremo fuori solo se, direi ovviamente, ci vacciniamo appena il vaccino sarà disponibile! Per chi dubita, esita, segue voci totalmente infondate, ricordo che la terribile malattia della poliomielite, ancora attiva quando ero giovane, è stata sconfitta solo grazie alla vaccinazione! Mia sorella minore è stata colpita dalla difterite, e si è salvata a prezzo di un ricovero di un mese in ospedale: quando è ritornata aveva perso le forze al punto che non riusciva a stare in piedi. Oggi questo pericolo non c’è più!

La Matematica ai tempi del Coronavirus: secondo aggiornamento

Nell’articolo precedente mi chiedevo se avessimo raggiunto il punto di flesso. Dopo tre settimane possiamo dire per certo che l’abbiamo raggiunto e superato; però, c’è un però.

Anzitutto, questa è la curva del totale dei casi in Italia, aggiornata al 26 aprile.

Il cambiamento di pendenza è evidente: abbiamo raggiunto e superato il flesso; però, non si vede affatto l’andamento a sigma di cui vi avevo parlato. Vediamo ora la curva dell’incremento giornaliero. 

A parte le oscillazioni della curva, è evidente una triste cosa: la velocità con cui calano i nuovi malati è minore di quella con cui sono cresciuti. Ciò significa che, mentre la curva a sigma era simmetrica, questa, invece, non lo è.

L’asimmetria della curva è confermata con il dato dei nuovi malati per la Lombardia.

Qui le irregolarità sono anche maggiori rispetto all’Italia, ma l’asimmetria della curva è persino più evidente.

Questa asimmetria comporta un’importante differenza sulla previsione delle prossime settimane. Se la curva fosse stata simmetrica avremmo già raggiunto la situazione di zero nuovi casi; così stando le cose, cosa possiamo aspettarci?

Nel diagramma vedete due linee tratteggiate. A sinistra del 26 aprile le linee coincidono, e sono, circa, la media dei valori registrati. 

Oltre il 26 aprile ci sono due linee tratteggiate. La linea arancione, inferiore, corrisponde ad un decremento costante dei casi: in questo caso, i nuovi casi andrebbero a zero a fine maggio. La seconda linea, grigia, corrisponde all’ipotesi che il decremento rallenti con il tempo: in questo secondo caso, l’azzeramento arriverebbe a metà giugno.

Ricordiamoci sempre che queste proiezioni valgono se continuiamo a mantenere la separazione sociale totale sino a fine maggio o a metà giugno. Invece, il governo ha deciso delle prudenti aperture a partire dal 4 maggio, e ne ha annunciato altre a partire dal 18 maggio. 

Queste aperture comporteranno un andamento diverso, peggiore, delle proiezioni. Può anche essere che nel periodo considerato non succeda nulla, ma che ci sia una ripresa dell’infezione in tempi successivi. Ecco spiegata la prudenza del governo a riaprire.

D’altra parte, occorre essere realistici: se la nazione perde ricchezza, la perde anche nella sanità nel suo complesso; quindi, non si può continuare con la segregazione totale, perché alla lunga sarebbe controproducente. Credo che tutto ciò sia chiarissimo ai comitati tecnici che supportano il governo, e credo anche che stiano decidendo per il meglio.

La Matematica ai tempi del Coronavirus: un addendum

Durante questa epidemia abbiamo seguito l’evolversi del numero di morti, ed abbiamo sentito parlare di ospedali sovraccarichi e persino inceneritori che non riescono a smaltire le bare.

La nostra nazione conta circa 60 milioni di persone (in effetti, a metà 2019, eravamo 59.200.000), che non vivono in eterno: ebbene, non so voi, ma io mi sono chiesto quale è la mortalità “normale” in Italia.

Con un poco di fatica, sul sito ISTAT ho scoperto che, per tutte le cause, i morti in Italia viaggiano attorno ai 600.000 l’anno: l’ultimo dato disponibile, 2018, riporta 633.000 morti.

Questo dato mi ha un poco sorpreso: considerando che la nostra vita media è di 85 anni, mi aspettavo di più: circa 700.000 morti. Il conto è semplice: basta dividere 60 milioni per 85! Facendo il calcolo inverso, sempre con 60 milioni, se lo divido per 633.000 ottengo una vita media di oltre 94 anni: che sia la vita media verso cui ci stiamo avviando?

Sta di fatto che 633.000 diviso 12 dà 52.750 morti al mese. Arrotondando, diciamo che abbiamo avuto 10.000 morti per coronavirus in un mese: l’aumento è “solo” di circa il 20%. E allora? Perché mai tutto questo trambusto?

Verificando quali sono le cause di morte in Italia, per il 38% sono problemi cardiaci, e per il 30% sono tumori; solo il 6% sono malattie polmonari, che, suppongo, sono quelle che maggiormente richiedono i respiratori. Inoltre, le malattie infettive colpiscono circa per il 2%. Sulla base di queste percentuali, i posti letto in regime normale potevano essere calcolati per accogliere circa 3000 malati per malattie polmonari, e 1000 malati per malattie infettive.

Il problema per il sistema sanitario è che questi 10.000 morti hanno tutti avuto una patologia infettiva e polmonare: ecco perché il SSN non ha retto l’urto.

Conclusione: la matematica dà risposte!

La Matematica ai tempi del Coronavirus: un aggiornamento

Nel mio precedente articolo vi ho parlato della curva sigma e della sua derivata. La conclusione è stata che la curva dei nuovi malati mostrava un lieve rallentamento, e che la curva dell’incremento aveva probabilmente un flesso.

A distanza di una settimana voglio aggiornarvi su questi andamenti: possiamo tirare un sospiro di sollievo? Vediamo.

Anzitutto, questa è la curva del totale dei casi, aggiornata al 2 aprile.

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Come vedete, la curva continua ad aumentare; però, ad occhio, si vede un cambiamento di pendenza. È veramente il flesso? Per capirlo, vediamo la curva dell’incremento giornaliero.

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La curva è tutt’altro che regolare; però, la linea tratteggiata (per gli esperti, l’interpolazione polinomiale) evidenzia un andamento in discesa che ci permette di dire: si, abbiamo superato il flesso!

Questa è la media in Italia; come sappiamo, ci sono disallineamenti tra le varie regioni. Allora consideriamo la sola Lombardia, dove le misure di contenimento sono iniziate prima. Ecco il diagramma dei malati.

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Qui il cambio di passo, quindi il flesso, è più evidente. Vediamo gli incrementi.

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Come c’era da aspettarsi, in Lombardia la discesa è più evidente. Possiamo concluderne che le misure di contenimento sono efficaci: continuando così, a fine aprile potremmo essere alla fine del tunnel di tanti nuovi malati ogni giorno.

E poi? Se guardiamo alla Cina, potremo ridurre le misure di contenimento, ridando mobilità a (quasi?) tutti i lavoratori, magari mantenendo la limitazione per le persone più anziane (ahimè, quorum ego). A risentirci.

La matematica ai tempi del Coronavirus

In questo periodo siamo sommersi da notizie sull’epidemia e tra le tante che ci arrivano nessuna che dia l’idea su come stanno andando le cose in modo semplice e chiaro. Quindi per l’uomo comune il tutto diventa incomprensibile. Come vengono prese le decisioni da parte di chi ha la responsabilità del governo?

La risposta è che le decisioni dipendono dalle analisi sui dati dell’epidemia, fatte dagli statistici che riferiscono al governo. Come ripeto, dai notiziari che ci sommergono non ci è dato di conoscerne i risultati; solo qualche buon giornale li presenta e commenta.

Ebbene, chi ha studiato matematica (o frequentato i corsi della nostra UNITRE), può utilizzare questa arte per capire, appunto, come stiamo andando le cose.

Anzitutto, cosa significa che una malattia è contagiosa? Significa che una persona malata può fare ammalare delle altre persone, con cui viene in contatto. Quando questo accade, come si evolvono le cose?

Supponiamo che ogni persona ammalata possa contagiarne due in due giorni (cosa vicina a quanto fa il coronavirus, senza limitazioni di movimento). In questa situazione, avremmo il seguente andamento dei malati.

GIORNO NUOVI MALATI
0 1 1
2 2 3
4 4 7
6 8 15
8 16 31
10 32 63
12 64 127
14 128 255
16 256 511
18 512 1023
20 1024 2047

Quella che vedete è una progressione geometrica, cioè moltiplicativa: la crescita si chiama esponenziale. Il diagramma dà l’idea di cosa succede man mano che passano i giorni.

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Il diagramma è una semplificazione: passando i giorni alcuni malati guariscono ed altri muoiono; il totale è minore di quanto indicato. E quando termina questo aumento spaventoso? Semplice: quando ci ammaliamo tutti quanti!

Naturalmente, anche questo non è vero: man mano che i malati guariscono ci saranno sempre meno nuovi ammalati. Il risultato finale è un andamento a “sigma”, come illustrato nel diagramma seguente:

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Questo è l’effetto gregge di cui qualche noto politico estero ha blaterato. Il piccolo problema è che, nel frattempo, aumenta anche il numero dei morti, e gli ospedali non riescono a far fronte alle richieste di nuovi ricoveri.

E allora? Allora, l’unico sistema è di abbassare il numero di persone contagiate da un malato: se nessuno contagia nessun altro, l’epidemia si ferma. Ecco perché in Cina prima, poi in Italia e poi nel resto dei paesi contagiati si sono adottate le misure restrittive al movimento delle persone.

Come si fa a capire che l’andamento dell’epidemia segue la curva sigma invece di quella esponenziale? Le due curve, all’inizio, sono praticamente identiche! E allora?

Allora, si aspetta di vedere che la curva dell’incremento dei nuovi malati mostri una riduzione dell’aumento (il flesso) che è individuata dal punto rosso della curva sigma. Quindi, facciamolo: prendiamo questi dati, ad esempio dal sito della protezione civile, e costruiamo la tabella dei dati; da questa, disegniamo il nostro diagramma. Ecco il totale dei malati in Italia, aggiornato al 21 marzo.

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Come vedete, la curva continua ad aumentare; ad occhio, sembra ancora con andamento esponenziale. Come possiamo capire se siamo arrivati al flesso?

Un metodo molto semplice è quello di disegnare lo stesso diagramma su della carta semilogaritmica (che si trova in cartoleria). Cosa è la carta semilogaritmica? È una carta che ha degli intervalli di larghezza costante su un asse, mentre sull’altro asse ha intervalli proporzionali al logaritmo del numero. Quindi, sul primo asse è costante la distanza tra 1, 2, 3 eccetera; sul secondo, è costante la distanza tra 1, 10, 100, 1000 eccetera.

Ora, come sanno coloro che hanno studiato matematica o seguito il primo anno di corso alla UNITRE, il bello del diagramma che ne viene fuori è che se l’andamento è esponenziale il diagramma è una retta, facilissima da riconoscere! Ebbene, se facciamo questo diagramma: cosa vediamo? Ecco a voi.

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Beh, beh: non è proprio una retta, e questo è un bene; però, non ci si discosta molto. Possiamo fare qualcosa d’altro?

Certamente: la cosa da fare è semplice da capire; la matematica che ci sta sotto si studia alle superiori, o al terzo anno del corso di matematica di UNITRE. Di cosa si tratta?

Si tratta si studiare non solo l’andamento dei malati, ma il loro incremento giornaliero. In matematica, questa è la derivata prima della curva. Cosa troviamo? Vediamo cosa succede sulla curva sigma.

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Ecco: ad un certo punto, precisamente quando si raggiunge il flesso, la curva della derivata, cioè degli incrementi, smette di salire, ed inizia a calare. Bene: allora, vediamo la curva degli incrementi dei malati in Italia.

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Discesa degli ultimi due giorni ci fa ben sperare.

In Italia, le restrizioni sono attive da due settimane: e se consideriamo la sola Lombardia, dove stiamo in casa da quattro settimane? Eccovi tabelle e diagrammi del numero di malati e del loro incremento per la Lombardia.

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Siamo ancora in aumento! Vediamo gli incrementi.

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Bene: anche a livello Lombardia c’è un calo dei nuovi malati!

Questo è quanto la matematica ci può dire. Ora, pensiamo a quanto abbiamo visto.

La prima riflessione è che, forse, abbiamo raggiunto il flesso: occorrerà la conferma nei prossimi giorni. Supponiamo che, almeno in Lombardia, lo abbiamo realmente raggiunto. Se guardiamo la curva sigma, osserviamo che è simmetrica rispetto al flesso: quindi, per vedere l’aumento dei casi tendere a zero, come è successo in Cina, occorreranno altrettante settimane rispetto all’inizio: diciamo, altre cinque settimane. Quindi, sempre se va bene, potremmo dire di esserne fuori la prima settimana di maggio.

Un momento: cosa vorrà dire esserne fuori? Vorrà dire avere annullato i nuovi casi, ma nella attuale situazione di limitazione dei movimenti e delle attività! Quindi, non vuol dire affatto che da inizio maggio potremo ritornare a muoverci come prima: se lo facessimo, l’epidemia ritornerebbe ad esplodere!

Conclusione: la limitazione dei movimenti ha l’ottimo scopo di ridurre il numero di nuovi casi, e di dare assistenza ai malati: meno malati significa ospedali che riescono a rispondere all’afflusso dei pazienti. Questa limitazione dovrà inesorabilmente essere protratta, sino a quando succederanno due cose.

La prima sarà una cura per chi si ammala: già si stanno sperimentando medicine che, anche se sono state create per altri scopi, dimostrano di avere qualche efficacia.

La seconda sarà, finalmente, la disponibilità di un vaccino. Come sapete, per averlo occorre anzitutto crearlo, e poi verificarlo. Se fosse creato oggi, la sola verifica, almeno con i criteri attuali, prenderà un anno e mezzo. Per inciso, quei genitori che, convinti che i vaccini sono cattivi, hanno esposto i figli al rischio della roulette russa, scommetto saranno in prima fila per farsi vaccinare!

Unica nota consolatoria: quando veramente sarà tutto finito, spero proprio che il mondo sarà migliore, e più saggio. Si, perché, vedete, mentre la morte per coronavirus è evidente, c’è un altro pericolo che ci sovrasta, più subdolo perché meno brutale: il problema della non sostenibilità del nostro modello di esistenza. Il capitalismo, con la sua corsa sfrenata all’utile monetario, ha ampiamente mostrato i suoi limiti: occorre rientrare in carreggiata.

Tanti anni fa leggevo il libro “I limiti dello sviluppo”. Nel libro si ipotizzava una crescita esponenziale degli abitanti della Terra, ciò che comportava problemi man mano insolubili di mancanza di cibo, di inquinamento, di scarsità di risorse e, appunto, di scoppio di pandemie. Ebbene, mentre le altre crescite hanno mostrato un andamento a sigma, la pandemia che ci affligge ha scalfito le fondamenta del nostro modo di essere e di pensare.

Ultimo commento: la matematica, al mondo d’oggi, serve!