Sale e scende la marea…

Cosa mostrano queste due foto? Un famoso monastero, Mont Saint Michel, in Francia: nella foto a sinistra è un’isola; in quella a destra è raggiungibile con una strada.

Immagino che lo conosciate, e che sappiate cosa lo rende alternativamente isola e terraferma: è la marea, che, periodicamente, sale e scende, coprendo un dislivello di ben 14 metri: una cosa ignota nel Mediterraneo, che rende pericoloso passeggiare sulla sabbia (ci sono anche le sabbie mobili). Ma vi siete mai chiesti chi muove così tanto il mare; in altre parole, come si spiegano le maree?

Guardate che la domanda non è banale: gli antichi non riuscivano a raccapezzarsi, e persino Galileo, che ha studiato il fenomeno, ne ha dato una interpretazione sbagliata!

Il primo a capire la dinamica del fenomeno è stato il grande Isaac Newton: nel suo capolavoro, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, pubblicato nel 1686, Newton spiegava il perché della marea. La spiegazione definitiva è stata data a fine 1800 da George Darwin, figlio di Charles Darwin. Vediamo la spiegazione.

Anzitutto, descriviamo meglio il fenomeno: il mare s’innalza, rispetto al livello medio, due volte al giorno; quindi, sia sulla parte della Terra più vicina alla Luna, che sulla superficie opposta! Ebbene, mentre si può pensare che l’acqua, come liquido, possa risentire dell’attrazione lunare, e sollevarsi, il fatto che l’acqua si sollevi anche dalla parte opposta è difficile da capire: sulla parte opposta dovrebbe esserci il minimo di marea, non un secondo massimo; dovrebbe esserci una marea al giorno, e non due! E allora, cosa ha capito Newton?

Ecco un disegno schematico della situazione. La Terra subisce quattro forze: l’attrazione del Sole e la forza centrifuga dal Sole; l’attrazione della Luna e, notate bene, la forza centrifuga causata dalla rotazione della Terra attorno al centro di massa del sistema Terra – Luna. Approfondiamo questo ultimo discorso.

Normalmente si dice che la Luna gira attorno alla Terra, così come si dice che i pianeti girano attorno al Sole, ma non è esattamente così.

In effetti, due corpi celesti che si attraggono si muovono entrambi attorno a quello che è il centro di massa. Per capire di cosa si tratta, domanda: se i due corpi che si attraggono avessero la stessa massa, cosa succederebbe? Si muoverebbero entrambi attorno al punto equidistante dai centri delle due masse!

Ma allora, non è corretto dire che i pianeti girano attorno al Sole? Si, non è corretto: il Sole non è immobile, inchiodato nello spazio! Si dice che i pianeti girano attorno al Sole perché il Sole ha una massa molto superiore a quella dei pianeti; però, la realtà è che anche il Sole si muove a causa del moto dei pianeti. E per il sistema terra – Luna, cosa succede?

Succede che, date le masse della Terra e della Luna e le loro distanze, il baricentro del sistema si trova a 4641 km dal centro della Terra, (quindi, dentro alla Terra), e che entrambi, sia la Terra che la Luna, girano attorno al baricentro, percorrendo un giro completo nei 28 giorni della rivoluzione lunare! Scommetto che non lo sapevate. Ma allora, se le cose stanno così, sulla Terra si sviluppa una reazione centrifuga a questa rotazione!

Normalmente si rappresenta la Terra come un punto, situato al suo centro. Però la Terra non è un punto: con un raggio di circa 6.370 km (pari a 6,37 ∙ 106 m), ha una certa estensione. Di conseguenza, il valore dell’attrazione gravitazionale lunare cambia un poco lungo la sua superficie: è massima nel punto più vicino alla Luna; minima nel punto più lontano.

Quindi, torniamo a noi e parliamo di queste quattro forze, due solari e due lunari. Iniziamo dalla forza di gravità del Sole: dato che la distanza media dal Sole è di 1,5 ∙ 1011 m, la variazione di distanza tra le superfici vicina e lontana dal Sole è piccola: in prima approssimazione, possiamo dire che la sua forza di attrazione è costante su tutta la superficie terrestre (in effetti, esiste anche una, visibile, marea solare).

E le altre due forze? Diamo un’occhiata al disegno schematico.

Partiamo dai poli: le due forze, attrazione lunare e forza centrifuga, si compongono e danno una risultante ortogonale alla superficie terrestre: l’acqua viene schiacciata verso il centro; è la causa della bassa marea.

Andiamo ora sulla superficie più vicina alla Luna: qui l’attrazione gravitazionale della Luna è massima, mentre è minima la forza centrifuga; risultato: alta marea.

Andiamo infine sulla superficie più lontana dalla Luna: qui l’attrazione gravitazionale della Luna è minima, mentre è massima la forza centrifuga; risultato: alta marea.

Riuscite ad immaginare l’enorme energia necessaria per alzare le masse d’acqua degli oceani? Secondo voi, anche la parte solida della Terra è completamente immune da movimenti elastici?

La realtà è che la Terra si muove per queste forze. Ora, vi anticipo un concetto: ogni movimento di masse implica un consumo di energia e, poiché l’energia non si crea dal nulla, ci deve essere qualcosa che fornisce questa energia. E sapete cos’è? È la Luna; questa dissipazione di energia la fa rallentare; ciò che causa il suo lento allontanamento dalla Terra. Stiamo parlando di 3,8 cm di allontanamento all’anno. Poco? La Terra si è formata circa 4,5 miliardi di anni fa; all’inizio, la Luna era a circa la metà della distanza attuale!

E la Terra? Anche la Terra perde energia, e rallenta; di pochissimo (18 μs/anno), ma è una quantità misurabile.

Ultima considerazione: vi ho detto che la Terra è una sfera, ma anche che è (leggermente) plastica; e allora? Allora, la Terra non ha una forma sferica: la forza centrifuga dovuta alla rotazione attorno al suo asse la ha allargata all’equatore: è uno sferoide.

L’equatore misura 12.756 km; il meridiano invece misura 12.713 km. Newton aveva capito questo fatto; però, secondo Cartesio la forma doveva essere opposta, tipo un’anguria, allungata sull’asse di rotazione.

Per dirimere la questione, a metà settecento l’Accademia delle Scienze di Parigi realizzò una spedizione verso l’Artide, che confermò lo schiacciamento ai poli.

Voltaire era un grande ammiratore di Newton; il suo commento fu:

«Vous avez confirmé, dans ces lieux pleins d’ennuis, ce que Newton connut sans sortir de chez lui». E cioè: Voi avete confermato, in quei luoghi pieni di problemi, ciò che Newton sapeva senza uscire di casa».

In altre parole, la mente supera la bruta materia!

Ma chi gira: la Terra o il Sole?

I nostri antichi pensavano che la Terra fosse ferma, e che il Sole le girasse attorno: ancora oggi sembra che il 25% delle persone la pensi come gli antichi (!). Le principali ragioni per essere certi che la Terra è fissa erano le seguenti:

  • se la Terra ruotasse, ci sarebbero dei venti continui verso ovest (nell’emisfero settentrionale);
  • un oggetto, cadendo da una torre, non arriverebbe ai piedi della torre perché, durante la caduta, la Terra si sarebbe spostata verso est.

La prima conclusione è sbagliata e giusta. È sbagliata perché l’atmosfera terrestre ha un peso, ed è trascinata dalla Terra durante la sua rotazione (notate che, se così non fosse, avremmo dei venti a circa 1000 km/h!). È giusta perché gli antichi, che non si erano mai avventurati nell’oceano Atlantico, non sapevano dell’esistenza degli alisei, venti che soffiano, nel nostro emisfero, da nord–ovest a sud–est: e questo perché l’atmosfera non è un oggetto solido, ma è un fluido con una viscosità molto bassa.

La seconda conclusione è giusta! Però, c’è un però: lo spostamento dell’oggetto rispetto ai piedi di una torre è piccolissimo, e difficile da osservare. Vediamo di cosa stiamo parlando.

Nel disegno, molto approssimativo, abbiamo la torre, alta h, che si erge sulla Terra, di raggio R. Quando lasciamo andare il corpo P, cosa succede?

Se (poiché) la Terra gira sul suo asse (per essere precisi, rispetto alle stelle), il corpo P, sulla torre, ha una velocità v2, che dipende dalla sua distanza dall’asse della Terra, che è uguale a: R + h. Difatti, la Terra gira sul suo asse con la velocità ω, pari a 1 giro ogni 24 ore; quindi, la velocità v2 vale: v2 = ω (R + h). Per il principio d’inerzia, il corpo P procede con la sua velocità v2 sino a quando tocca il suolo. Chiaro?

Se T è il tempo necessario alla caduta, il corpo P, quando tocca terra, si è spostato di s2 = T ∙ v2. Quando arriva ai piedi della torre, il corpo P atterra ai piedi della torre? Vediamo…

La base della torre dista R dal centro della Terra: la sua velocità v1 è: v1 = ω ∙ R. Dopo il tempo T, la base si è spostata di s1 = T ∙ v1, che è più piccolo di s2! Ma perché nessuno se ne è mai accorto? Per rispondere, facciamo due conti. Anzitutto, la differenza s2 – s1 vale:

s2 – s1 = T ∙ ω ∙ (R + h) – T ∙ ω ∙ R = T ∙ ω ∙ h

Si poteva pensare che, poiché R è grandissimo rispetto all’altezza della torre, lo spostamento fosse piccolissimo: si scopre, invece, che non dipende dal raggio R della Terra! Attenzione, però: se h è piccolo rispetto a R, anche s2 – s1 lo è, nella stessa proporzione!

Ma allora, di quanto si sposta P dalla base della torre? Facciamo un esempio. Supponiamo che la torre sia alta ben 100 m. Poiché un giorno dura 86400 s, la velocità di rotazione della Terra è ω = 1/86400 giri/s. Noi sappiamo calcolare il tempo T di caduta di P dalla torre: parlando di Newton, abbiamo visto che lo spazio h percorso nel tempo T da un corpo accelerato con accelerazione g vale: h = g ∙ T2/2, dove g è l’accelerazione di gravità. Da ciò deriva che T = √2∙h/g

Poiché g = 9,8 m/s2, troviamo T = 4,5 s; quindi: s2 – s1 = 5,2 mm

Avete capito perché non si vede lo spostamento? Perché è troppo piccolo! Considerando poi la resistenza dell’aria, il vento, eccetera, non c’è speranza di eseguire questa misura.

Ma allora, non c’è nessun modo per avere la conferma diretta della rotazione della Terra? Il metodo c’è, ed è stato ideato nel 1851 da Jean Foucault. Di cosa si tratta? Prima di spiegarvelo, una premessa: noi siamo sulla Terra, che gira attorno al proprio asse. Come abbiamo visto, il movimento di rotazione è ben diverso da quello rettilineo uniforme, poiché richiede la presenza della forza centripeta. Ma non basta: c’è un altro fenomeno da considerare.

Allora: saliamo nuovamente sulla giostra, ci mettiamo sul suo asse, e, mentre la giostra gira, lanciamo un pallone ad un nostro amico che si trova a terra e che, al momento del lancio, sta di fronte ad un puntino rosso disegnato sulla giostra. Cosa succede?

Mentre il pallone vola, la giostra gira in senso antiorario, così che quando il pallone arriva al mio amico, la giostra ha percorso un certo arco e il puntino rosso si è spostato. E il pallone? Per il principio d’inerzia, il pallone viaggia con un moto rettilineo uniforme verso il mio amico, che si trova a terra. Per lui, quindi, la traiettoria del pallone è un tratto rettilineo che parte dal centro della giostra e va verso di lui.

Ma ora facciamo salire anche il mio amico sulla giostra in corrispondenza del puntino rosso. Lancio di nuovo il pallone come prima verso il puntino rosso. Cosa succede ora?

Il mio amico gira con la giostra insieme a me e si rende conto che ora il pallone non procede verso di lui, ma segue una traiettoria curva tanto più accentuata quanto più la giostra gira velocemente, come evidenziato dalla figura.

Siccome il mio amico sa che un oggetto per compiere una traiettoria curva ha bisogno di un intervento esterno, conclude che il pallone è stato spinto da una forza!

Nel 1835, Gaspard-Gustave de Coriolis ha calcolato questa forza, precisando che si tratta di una forza apparente, causata dal movimento della giostra. Perché ci interessa la forza di Coriolis? Perché ci serve per dimostrare che noi siamo su una sfera che gira e quindi sulla terra questa forza agisce! In particolare, sposta l’aria da nord verso l’equatore, nel nostro emisfero: ecco spiegata la direzione nord-ovest sud-est degli alisei. Non solo: ecco spiegata la formazione dei cicloni, che ruotano in senso antiorario nell’emisfero settentrionale.

Ciò premesso, cosa ha pensato Foucault? Ha pensato che se si prende un corpo, lo si appende ad una fune e lo si fa oscillare, l’oscillazione avviene su un piano, se lo si vede dalle stelle (che equivalgono al nostro amico fuori dalla giostra, a terra). Ma noi siamo sulla Terra, e la Terra gira: un corpo in movimento è soggetto alla forza di Coriolis. Allora, guardando il pendolo che oscilla, cosa vediamo?

Vediamo che l’estremità del pendolo, invece di muoversi lungo una retta, percorre delle strane traiettorie curve, che non s’intersecano al centro della oscillazione, come farebbero dei raggi, e che deviano verso destra (nell’emisfero settentrionale).

A sinistra vedete lo schema del movimento: il pendolo va da A a B a C eccetera (il movimento della Terra è molto minore!).

A destra vedete il pendolo realizzato da Foucault, ed installato nel Pantheon di Parigi: la sfera è cerchiata in rosso. Il cavo è lungo 68 m; la massa è 28 kg. Una punta in basso traccia un lieve segno sulla sabbia posta nella parte centrale sopraelevata: per vedere il movimento, occorre del tempo. Quanto tempo?

Pensiamo un poco: se ci mettiamo con il nostro pendolo ad uno dei poli, cosa vedremo? Vedremo che la Terra gira in un giorno; quindi, in 24 ore il pendolo farà un giro completo. Chiaro?

Bene: ora, ci mettiamo all’equatore: cosa vediamo? Se ci pensate bene, all’equatore il movimento della Terra è perpendicolare all’asse di rotazione: il piano di oscillazione del pendolo non cambia mai!

Ed alle altre latitudini? Ecco la formula del tempo necessario per una rotazione completa:

T (ore) = 24/senα,

dove T è il tempo, in ore, della rotazione; 24 le ore del giorno; α è la latitudine. A Parigi, T = 32 ore (circa).

Conclusione: la Terra gira, e ne abbiamo la prova!

Disegno dell’orbita dei pianeti

Partendo dalle equazioni di Newton, vogliamo disegnare l’orbita della Terra attorno al Sole. Gli assi coordinati x e y hanno l’origine nel Sole. In questo lavoro apportiamo una semplificazione: supponiamo che il sole stia fermo mentre la Terra gli gira attorno. La realtà è che anche il Sole si muove sotto l’attrazione della Terra: in effetti, si muovono entrambi, Terra e Sole, attorno al centro di massa del sistema Terra-Sole.

Cos’è e dove si trova questo centro di massa? In sintesi, il centro di massa è il fulcro, virtuale, di una leva che ha Terra e Sole ai suoi estremi. Date le masse di terra e Sole e la loro distanza, si trova che il centro di massa del sistema dista circa 5∙105 m dal centro del Sole. Tanto? Attenti: sono 500 km, mentre il Sole ha un raggio di 700.000 km! Ecco perché la nostra approssimazione è valida.

Noi ci proponiamo di disegnare la forma dell’orbita della Terra usando il calcolo numerico, cioè approssimando le equazioni esatte. Prima di tutto, dobbiamo definire il sistema di coordinate rispetto al quale calcolare il movimento: la cosa più semplice è mettere gli assi coordinati sul piano dell’eclittica; ecco il disegno della Terra e del Sole ad un certo istante. La Terra è sottoposta all’attrazione gravitazionale del Sole e si sta muovendo sulla sua orbita con velocità v.

Ora il nostro compito è quello di riscrivere la seconda equazione della dinamica e la legge di gravitazione universale in modo tale da ottenere le equazioni che ci servono per disegnare l’orbita terrestre. La forza di attrazione del Sole sulla Terra si scompone in due componenti, entrambe negative, perché in direzione opposta rispetto a quella degli assi:        

F = forza Terra – Sole;

Fx, Fy = componenti della forza;

x,y = coordinate della Terra;

r = distanza Terra – Sole.                                    

Dalla similitudine tra i triangoli F, Fx, Fy e r, x, y otteniamo:                                                

Fx/F = – x/r; Fy/F = – y/r; ergo:

Fx = -x∙F/r = -G∙M∙m∙x/r3

Fy = -y∙F/r = -G∙M∙m∙y/r3

Dalla legge di gravitazione universale e dalla seconda legge della dinamica abbiamo:

d2s/dt2 = -G∙M/r2

Quindi le componenti dell’accelerazione sono:

d2x/dt2 = ax = -G∙M∙x/r3

d2y/dt2 = ay = -G∙M∙y/r3

Poiché d2s/dt2 = dv/dt, scriviamo le tre leggi che ci consentono di disegnare l’ellisse:

dvx/dt = -GMx/r3

dvy/dt = -GMy/r3

r = √(x2 + y2)

Come dicevo, questo sistema di equazioni è risolubile in forma esatta; però, adottiamo invece un approccio numerico che non richiede la conoscenza delle equazioni differenziali. Come sapete, l’operazione dx/dt richiede di passare al limite del rapporto; noi, invece di arrivare al limite, scegliamo un Δt convenientemente piccolo, così da non sbagliare troppo nel disegno dell’ellisse, e calcoliamo dalla formula il valore di x corrispondente. Iterando i calcoli un numero sufficiente di volte arriviamo a disegnare l’ellisse completa. Tutto ciò si può fare in modo abbastanza semplice usando EXCEL od un simile programma spreadsheet.

Ho tratto quanto segue dal libro di fisica di Feynman: scusate se è poco!

Ribadiamo il concetto di ciò che stiamo per fare. Per semplificare, iniziamo i calcoli all’istante t = 0, quando la Terra si trova su un punto dell’asse x; inoltre prendiamo, per ora, dei valori arbitrari, che non modificano la forma dell’orbita terrestre. Quindi, partiamo da x(0) = 0,5; y(0) = 0: conosciamo i valori di vx e vy?

Come si vede dal disegno, vx(0) = 0; per vy diamo il valore vy(0) = 1,57. Cos’è quello strano valore per vy? Niente paura: è π/2: ci semplifica il disegno. Infine, prendiamo Δt = 0,1 (con EXCEL è facilissimo cambiare i parametri!).

Bene: tutto ciò che dobbiamo fare è calcolare i valori di x e y dopo un tempo pari a Δt, 2Δt, 3Δt… sino a quando abbiamo disegnato tutta l’ellisse. E come si procede?

Anzitutto, sempre per semplificare, poniamo G∙M = 1 (è solo una costante moltiplicativa): le formule diventano:

Δvx/Δt = -x/r3 = ax

Δvy/Δt = -y/r3 = ay

r = √(x2 + y2)

Da cui otteniamo:

Δvx = Δt∙ax;

Questa formula si riferisce alla variazione di velocità. Quando è passato il tempo N∙Δt dall’inizio, la Terra avrà acquistato la velocità vx(N); quindi, all’istante (N+1)∙Δt, la velocità vx(N+1) sarà uguale alla velocità precedente vx(N) più la variazione di velocità Δvx; quindi:

vx(N+1) = vx(N) + Δt∙ax

Analogamente, vy(N+1) = vy(N) + Δt∙ay

Quindi, una volta noti vx(0), vy(0), ax(0), ay(0), possiamo calcolare i vx e vy successivi. Infine, le nuove posizioni della terra sono:

x(N+1) = x(N) + Δt∙vx

y(N+1) = y(N) + Δt∙vy

Vedete? Conosciamo x(0), y(0), vx(0) e vy(0): completiamo i dati iniziali calcolando r(0), ax(0), ay(0), usando le formule qui sopra. Otteniamo:

r(0) = 0,5; ax(0) = -4; ay(0) = 0                                                               

Spero che sia tutto chiaro!                                                          

Bene: ora facciamo ciò che è facile con EXCEL: costruiamo una tabella con i valori di: x, y, r, ax, ay, vx, vy e poi incrementiamo Δt.            Ecco l’intestazione della tabella, i valori iniziali ed i valori calcolati per il primo passo.

NxyraxayvxvyΔt
00,500,5-4001,570,1
10,50,1570,524-3,473-1,090-0,3471,460 

Nella tabella trovate anche Δt perché, a questo modo, posso verificare l’esito dei calcoli con valori diversi: più Δt è piccolo, più preciso è il disegno.

Quante volte devo riciclare i calcoli? Semplice: guardate i valori di x; li vedrete diminuire e poi aumentare. Quando i valori ritornano a 0,5 avete disegnato una ellisse completa.

Se usate EXCEL, per avere il diagramma dell’elaborazione selezionate le colonne x e y, e la funzione Inserisci Grafici x,y: ecco il risultato!

Ecco l’ellisse, come promesso! Però, come vedete, l’ellisse è un poco grossolana: proviamo a usare Δt = 0,04; ecco il risultato.

Ottimo! Con Δt più piccoli aumenta la precisione del disegno (ed il numero di passi necessari); e con Δt maggiore? Ad esempio, con Δt = 0,2?

Come vedete, l’ellisse non si richiude su sé stessa: l’errore cumulativo è troppo grande.

Ma voi dite: vorremmo disegnare la traiettoria reale della Terra! Rispondo: non è difficile; è sufficiente usare le stesse formule, ed i parametri reali, che riassumo.

MASSA
TERRA
MASSA
SOLE
DISTANZA
T – S
VELOCITA
TERRA
COSTANTE
G
ANNOCOST
G*Ms
kgkgmm/sm3kg-1s-2sm3s-2
5,97E+242,00E+301,50E+113,00E+046,67E-113,16E+071,33E+20

Attenti: sono parametri che trovate facilmente, tranne, forse, la velocità della Terra. Assimilando l’ellisse ad un cerchio, la Terra compie la circonferenza in un anno: da qui ricavate la sua velocità.

E per quanto riguarda Δt? Considerate che la Terra impiega un anno per compiere il giro attorno al Sole: sono 365 giorni. Poiché un giorno dura 86400 s, se prendete dei multipli del giorno sapete anche quanti passi calcolare per disegnare l’ellisse. Ad esempio, usando Δt = 432.000 s, cioè 5 giorni, occorrono 365/5 = 73 passi.

Ecco l’inizio della tabella di calcolo, con i valori iniziali e la prima riga calcolata.

NxyraxayvxvyΔt
01,50E+1101,50E+11-5,93E-030,00E+0003,00E+04432000
11,50E+111,30E+101,5056E+11-5,86E-03-5,07E-04-2,53E+032,98E+04 

Ed ecco l’ellisse reale.

Mi fermo qui, ma, se volete, potete aggiungere un altro pianeta, e calcolare le due orbite: in questo caso, ci sono più forze in gioco. Supponiamo di voler aggiungere anche Giove: sulla Terra agiranno l’attrazione del Sole e quella di Giove; su Giove, l’attrazione del Sole e quella della Terra. Buon divertimento a chi si cimenta! Attenti, però: il metodo che abbiamo seguito è l’unico che possiamo utilizzare per calcolare le orbite dei pianeti con più di un pianeta che orbita attorno al Sole: con più di un pianeta, le equazioni di Newton non sono risolubili in forma esatta!

La distanza della Luna e del Sole

Nei precedenti articoli abbiamo accennato all’evoluzione delle stelle, alla loro nascita, alla loro fine spesso catastrofica. A questo punto viene spontanea una domanda: ma quanto distano le stelle dalla Terra? E quanto distano il Sole e la Luna? Cominciamo andando indietro nel tempo.

Le stelle secondo gli antichi astronomi

Nel IV secolo a.C. Eudosso di Cnido (408 a.C.-355 a.C.) concepì un universo formato da una serie di sfere aventi un unico centro di rotazione (dette quindi omocentriche), nel quale era posta la Terra; le sfere ruotavano di moto uniforme e su ogni sfera vi era incastonato un corpo celeste. Per spiegare il moto dei pianeti, del Sole e della Luna Eudosso ricorse a serie di 3-4 sfere con assi di rotazione aventi direzioni diverse, per un totale di ben 27 sfere. Nelle sfere vi erano collocati, a partire dalla Terra, la Luna, Mercurio, Venere, il Sole, Marte, Giove, Saturno, ed infine le stelle fisse, incastonate nella sfera più esterna e quindi poste tutte alla medesima distanza dalla Terra. Noi oggi sappiamo che non è così.

Aristotele (384 a.C. – 322 a.C.) attribuì realtà fisica alle sfere di Eudosso, aggiungendone altre per spiegare meglio le traiettorie dei pianeti: in tutto ipotizzò ben 55 sfere, composte da un elemento, l’etere, privo di massa, invisibile, eterno ed inalterabile.

Nel III secolo a.C. Aristarco di Samo (310 a.C. – 230 a.C.), riprendendo la visione dell’universo di Eraclide Pontico, pose il Sole al centro dell’universo e propose il moto rotatorio della Terra su di un asse inclinato, spiegando così le stagioni. Ma la sua teoria non ebbe fortuna e fu respinta sia da Platone, che da Aristotele e Tolomeo. Sarà infine ripresa da Copernico, ma bisognerà aspettare ben 1800 anni!

Ancor prima di Aristarco Eratostene di Cirene (275 a.C.– 195 a.C.) aveva misurato il raggio della Terra, stimandolo di circa 6300 Km (252.000 stadi).

Aristarco misura il rapporto fra le distanze del Sole e della Luna

Aristarco fu il primo a calcolare il rapporto fra le distanze del Sole e della Luna dalla Terra. Egli cercò di misurare l’angolo tra Luna e Sole nell’istante esatto in cui la Luna si trovava in quadratura con il Sole, cioè quando le semirette congiungenti la Terra con la Luna e la Luna con il Sole formano un angolo di 90°.

L’osservazione va fatta quando la Luna è al primo quarto, poco prima del tramonto del Sole, mentre entrambi gli astri sono ben visibili. Nella figura, L è il centro della Luna, T il centro della Terra ed S il centro del Sole. Aristarco stimò che l’ampiezza dell’angolo STL fosse di 87°, da cui dedusse che il Sole era da 18 a 20 volte più lontano della Luna. Infatti, con l’uso della trigonometria, è facile calcolare il rapporto TS/TL, che vale 1/cos(87°) = 19,1.

Il suo calcolo, purtroppo è risultato errato perché la strumentazione di cui poteva disporre era grossolanamente imprecisa: l’angolo STL misura infatti 89° 51’ (89,85°), valore impossibile da stimare per l’epoca. La distanza del Sole è infatti circa 380 volte quella della Luna (1/cos (89,85°)).

Aristarco misura la distanza Terra-Luna

Ma Aristarco non si limitò a ideare questo ingegnoso metodo di calcolo. Egli osservò che il Sole, durante le eclissi totali, veniva coperto per intero dalla Luna: quindi ne dedusse che il Sole e la Luna sono visti dalla Terra sotto il medesimo angolo e che i loro diametri apparenti sono uguali. Allora, anche il diametro del Sole doveva essere da 18 a 20 volte quello della Luna.

Scrive G.V. Schiaparelli in Scritti sulla storia della astronomia antica: “Osservando poi il tempo, che nelle eclissi lunari impiega il nostro satellite a traversare l’ombra della Terra, Aristarco concluse che la larghezza di quest’ombra in quella regione dove passa la Luna, sia doppia del diametro lunare”.

Partendo da queste constatazioni Aristarco, nel suo breve trattato Sulle dimensioni e distanze del Sole e della Luna, pervenutoci da fonti greche e arabe, descrive un metodo geometricamente rigoroso per dedurre la distanza lunare in funzione del raggio terrestre.

Per i più curiosi e per chi vuol provare a ripetere il calcolo, vediamo come Aristarco ha operato.

dL, dS distanza Terra-Luna e Terra-Sole
RT, RL, RSraggio della Terra, della Luna e del Sole
Rraggio del cono d’ombra terrestre (per Aristarco pari a 2RL)
k=R/RLrapporto tra il raggio del cono d’ombra e della Luna (2 per Aristarco)
αL, αSdimensione angolare apparente della Luna e del Sole
βdimensione angolare del semicono d’ombra (per Aristarco β= αL)
nè il rapporto fra le distanze del Sole e della Luna (18-20 per Aristarco)

Dalla figura, ponendo α= αS/2, si ha: α+β=PS+PL (sono supplementari dello stesso angolo).

Poiché α, β, PS e PL sono angoli molto piccoli, esprimendo gli angoli in radianti, possiamo scrivere: PS=RT/dS, PL=RT/dL e quindi: α+β = RT/dS + RT/dL

Ma siccome β=k αL/2 e dS=n dL, si può anche scrivere:

Da questa relazione si ricava facilmente la distanza della Luna:

Aristarco stimò αLS=2° (0,0349 rad), k=2, n=19. Con questi valori si ricava che la distanza della Luna vale 20 volte il raggio terrestre (il valore corretto è circa 60 volte).

Il valore αL=2° è stranamente errato, perché nell’Arenario Archimede afferma che “Aristarco scoprì che il diametro del Sole appariva essere 1/720 del circolo dello zodiaco”, cioè mezzo grado.

Può darsi che Aristarco abbia eseguito la misura del diametro solare dopola scrittura della dimostrazione, oppure che fosse più interessato al metodo di calcolo che al risultato.

Ipparco affina il metodo di Aristarco

Ipparco di Nicea (190 a.C.-120 a.C.) fu, insieme a Tolomeo, il più grande astronomo dell’antichità. Grande osservatore, compilò un catalogo con 850 stelle, suddividendole in base alla luminosità in una scala di sei grandezze che oggi conosciamo come magnitudini stellari.

Ipparco riprese il metodo di Aristarco per la misura della distanza Terra-Luna e lo migliorò, grazie soprattutto alle sue precise osservazioni. Utilizzando la stessa figura, possiamo scrivere:

PL = α+β – PS e siccome PL=RT/dL si può scrivere

dalla quale si ricava:

Ipparco stimò αLS =0,554° (0,00967 rad), k=2,5; per PS, che è un angolo molto piccolo, non misurabile con gli strumenti a sua disposizione, Ipparco stimò un valore inferiore a 7’, ottenendo una distanza di 59 RT nel caso di PS=0, di 67 RT nel caso di PS=7’ (0,117° – 0,002036 rad). Questa volta ci siamo.

Nei prossimi articoli esamineremo alcuni dei metodi più recenti per ottenere le distanze degli astri.

Perche la luna non cade?

Per un momento, dimentichiamo tutto ciò che la scienza ci ha spiegato della Luna, e facciamoci incantare dalla sua presenza nel cielo. Non è senza motivo se gli antichi hanno pensato che fosse una dea benigna, che ci rischiara le notti e ci dà una misura del passare delle stagioni.

Come dea, doveva essere qualcosa di perfetto, ben diverso dalla nostra Terra, piena com’è di problemi di tutti i tipi! Ed ecco Aristotele, peraltro geniale, porla in un suo cielo etereo, irraggiungibile, mentre noi apparteniamo alla realtà “sublunare”.

Molti secoli dopo, Galileo Galilei ha puntato il telescopio sulla Luna, ha visto pianure, montagne, crateri, ed ha capito che la Luna è un oggetto materiale. Immagino che questo concetto fosse già nel sentimento comune; ad ogni modo, questo fatto era acquisito circa sessanta anni dopo, quando Newton era giovane e pieno d’idee.

Ma se la Luna è un oggetto, perché non cade?

La leggenda dice che un giorno Newton ha visto una mela cadere, e si è posto proprio questa domanda. Ripeto: l’idea che la Luna fosse un oggetto, come la Terra, il Sole, i pianeti, era stata acquisita da poco.

Ecco ciò che ha pensato Newton (sempre il nostro cervello come laboratorio): la mela cade in seguito all’azione di una forza, la forza di gravità. Ma questa forza di gravità è confinata sulla Terra, o si estende dovunque?

Ecco il pensiero audace: la forza di gravità si estende ovunque; in particolare, dalla Terra alla Luna; dal Sole alla Terra ed ai pianeti! Inoltre, è ragionevole pensare che questa forza sia generata dalla massa dell’oggetto, e che cambi con la distanza, secondo una legge da definire. Attenzione, ripeto: questa forza e la legge che la governa sono le stesse in tutto l’universo, sino alla stella più remota: è la legge di gravitazione universale! Se questo non è un pensiero audace, datemi un altro esempio di audacia intellettuale. In conclusione, Newton si aspettava che la forza di gravitazione seguisse la seguente legge:

F = G ∙ m1 ∙ m2 / Rx

Dove: F è la forza di gravità tra i corpi 1 e 2, rispettivamente di masse m1 e m2; G è una costante di proporzionalità; R è la distanza tra i corpi; x è un esponente da dare a R, che definisce quanto rapidamente diminuisce la forza F con la distanza (con R = 1 la forza diminuisce con la distanza; con x = 2 diminuisce con il quadrato della distanza, eccetera).

In questa formula, Newton aveva una conoscenza approssimata delle masse della Terra e della Luna; credeva di conoscere R, cioè la distanza Terra – Luna, ma era sbagliata; infine, non conosceva né l’esponente x, né la costante G: come fare per calcolarle? Vediamo cosa ha combinato Newton.

Partiamo dall’ipotesi: la Terra esercita lo stesso tipo di forza sia sulla mela che sulla Luna; ma allora, perché la Luna non cade? Risposta: non cade perché gira attorno alla Terra! La Terra attrae la Luna con una forza centripeta; la Luna non cade perché, girando, sviluppa una reazione centrifuga uguale ed opposta alla forza centripeta terrestre.

Vedete a cosa è servito a Newton saper calcolare l’accelerazione centripeta di un corpo rotante di moto circolare uniforme? Il bello è che sapete calcolarlo anche voi! Come?

Ricordiamoci la formula: a = v2 / R, dove: a è l’accelerazione centripeta esercitata dall’attrazione terrestre, da calcolare; v è la velocità della Luna; R è la sua distanza.

Noi sappiamo che la Luna descrive una orbita ellittica attorno alla Terra; però, non andiamo troppo per il sottile: diciamo che l’orbita è circolare, con una distanza media di 384.400 km: con R siamo a posto. E la velocità v? beh, anche questo lo sappiamo: il mese lunare dura 27,32 giorni terrestri. Allora, nessuna paura: convertiamo i km in metri, ed i giorni in secondi.

Risulta: R = 384.400.000 m; si può scrivere R = 3,84 ∙ 108 m. Il periodo T di rotazione è T = 27,32 giorni. Poiché un giorno dura 86400 s, il periodo è T = 2.360.448 s. In conclusione, la circonferenza percorsa dalla Luna è S = 2 ∙ 3,14 ∙ R = 2,414 ∙ 109 m; la velocità è v = S / T = 1020 m/s! Caspita, quanto viaggia veloce la nostra Luna! Chi l’avrebbe mai detto? Ma allora, l’accelerazione vale a = v2 / R = 2,7 ∙ 10-3 m/s2.

E sulla Terra, quanto vale l’accelerazione di gravità? Newton lo sapeva: 9,81 m/s2. OK; e qual è la distanza della mela dalla Terra? Voi, in coro: circa due metri! Attenti, ferma tutto!

Ragioniamo un poco: l’attrazione della Terra sulla mela proviene forse da quel poco di terra che si trova sotto l’albero, o proviene da tutta la massa della Terra? Ecco l’altra enorme intuizione di Newton: proviene, obbligatoriamente, da tutta la massa della Terra! Bene, è ragionevole; anzi, ovvio. Però, ora siamo nei pasticci: dobbiamo tagliare la Terra a fettine, e calcolare separatamente l’attrazione di ogni fettina sulla mela?

Ed ecco la formidabile, e conclusiva, intuizione di Newton: l’attrazione delle varie fettine della Terra equivale a quella di un punto che si trova al centro della Terra!

Pensiamoci: avrà ragione Newton? Beh, siamo in una situazione in cui ad ogni fettina vicina alla mela ne corrisponde un’altra simmetrica rispetto al centro della Terra. Quella vicina attira di più, quella lontana attira di meno; in media, è come se si trovassero al centro.

Newton conosceva le dimensioni della Terra; quindi, poteva dire che la mela si trovava a 6,39 milioni di metri dal centro: 6,39 ∙ 106 m.

Quindi, alla conclusione delle sue elucubrazioni, Newton aveva questi numeri:

  • Accelerazione della forza di gravità. Sulla Terra: g = 9,81 m/s2; sulla Luna, a = 2,7 ∙ 10-3 m/s2;
  • Distanza mela – Terra (centro): R = 6,39 ∙ 106 m; distanza Luna – Terra: d = 3,84 ∙ 108 m;
  • Rapporto g/a: 3600; rapporto d / R = 60.

Ma allora, l’accelerazione aumenta di 3600 volte quando la distanza diminuisce di 60 volte! Poiché 3600 = 602, se ne deduce che:

x = 2

La legge di gravitazione universale deve essere del tipo:

F = G ∙ m1 ∙ m2 / R2

E per G? Che valore ha?

Newton non ha potuto calcolarlo o misurarlo: ci ha pensato Henry Cavendish che, nel 1798, con una bilancia di precisione chiamata pendolo a torsione, e con tanta pazienza, ha misurato:

G = 6,674 ∙ 1011 m2/kg∙s2

Nella bilancia, M e m si attirano. La loro attrazione fa ruotare le due masse m di un angolo θ. Alla rotazione si oppone il filo K, che si torce. Una volta calibrato il filo K, e stabilito il rapporto tra la forza F e l’angolo θ, si può misurare la costante G:

G = F ∙ r2 / m ∙ M

Attenti: facile da dirsi…

Conclusione: man mano che le misure di R, massa della Terra, massa della Luna si sono affinate, è stato possibile affinare la formula. Poi, grazie ai suoi calcoli di derivate ed integrali, Newton ha potuto dimostrare che le orbite della Luna e dei pianeti, descritte da Keplero, erano conseguenti alla sua legge! Trionfo totale!

Tutti sulla giostra!

Eccoci qui al parco giochi: tra gli altri, c’è un bel girello che ci aspetta. Non c’è nessuno e, anche se sarebbe vietato, ci salite per un attimo, e girate. Però, sorpresa: cos’è questa forza che sentite, e che vi spinge in fuori? 

Voi, che ricordate bene il primo principio della dinamica, vi chiedete: non sto accelerando, sto girando con una velocità uniforme, eppure sento questa forza! Perché?

Qui è d’uopo ritornare alla cinematica, ed al fatto che la velocità è un vettore, e non uno scalare. Pensate bene: sul girello, anche se andate a velocità costante, in effetti cambiate di continuo direzione! E allora?

Allora, il secondo principio della dinamica dice che per cambiare velocità, inclusa la direzione della velocità, è necessario applicare una forza. OK, ma perché sento una forza diretta in fuori?

È perché vi sbagliate: quella che sentite non è l’azione del girello, che, in effetti, vi spinge verso l’interno, per farvi curvare, ma bensì, per il terzo principio della dinamica, sentite la reazione del vostro corpo, che è uguale e contraria all’azione del girello. Quindi, con un semplice girello abbiamo un ottimo esempio dell’applicazione dei tre principi della dinamica di Newton!

Per inciso, si chiama forza centripeta, cioè diretta verso il centro, quella che il girello esercita su di voi; la vostra reazione, uguale e contraria, si chiama reazione centrifuga. State attenti: sbagliarsi è facilissimo. E se la vostra reazione fosse superiore all’azione? Vorrebbe dire che qualcuno ha tolto la spalliera del girello, e che voi state cadendo! In che direzione state cadendo state cadendo? Guardiamo il lanciatore del martello!

Ecco: vedete il disegno? Quando il lanciatore rilascia il martello, questo non va verso l’esterno, in direzione radiale, ma bensì in direzione tangente al cerchio. Perché?

Perché rilasciando il martello si annulla la forza centripeta (e, in conseguenza, la reazione centrifuga): da quel momento, vale la legge della dinamica che dice che i corpi continuano con il moto rettilineo uniforme sinché una forza non li devia. La forza non c’è più: il martello procede diritto. Come voi sapete, il lanciatore si trova in una gabbia: deve ben sapere come si muoverà l’attrezzo quando lo rilascia, altrimenti gli finisce sulla gabbia: lancio nullo.

Meditando su questi fatti, il nostro buon vecchio Newton si è chiesto: ma quanto vale questa forza? Posso calcolarla?

Vediamo un poco. 

Abbiamo un oggetto, ad esempio il martello, che viaggia di moto circolare uniforme con velocità v. Ad ogni momento l’oggetto cambia direzione: nell’intervallo di tempo Δt si sposta di un arco di cerchio Δs = v ∙ Δt

NOTA: il simbolo greco Δ è la delta maiuscola, e dice che il tempo trascorso Δt è piccolo a piacere.

Durante l’intervallo Δt, di quanto è cambiata la velocità? Voi dite: ma hai detto che è costante! Si ma, poiché è cambiata in direzione, in effetti è cambiata di Δv: osservate la figura! E allora? Come calcolarla?

Allora, consideriamo il triangolo formato da Δs, R, R: è simile al triangolo formato da Δv, v, v. Voi dite: ma no; Δs è un arco di cerchio! Risposta: ecco che si spiega perché Newton ha inventato le derivate; quando Δt tende a zero, cioè a dt, la similitudine diventa esatta!

Tra i due triangoli simili possiamo scrivere:

Δs/R = Δv/v

Ma abbiamo detto che: Δs = v ∙ Δt

Inoltre, per definizione, l’accelerazione a vale: a = Δv/ Δt. Non sorprendetevi se Δv è (quasi) in direzione radiale!

Allora, dalla similitudine otteniamo:

v ∙ Δt / R = Δv/v

v2/R = Δv/ Δt = a

Quindi: 

a = v2/ R

Facciamo un rapido calcolo. Il girello ha (circa) il diametro di 2 m, quindi R = 1 m; la circonferenza è 2 ∙ 3,14 ∙ 1 = 6,28 m. Se fate un giro in 2 s, abbiamo una velocità v di: v = s / t = 6,28 / 2 = 3,14 m/s. Allora, l’accelerazione vale: a = v2/R = (3,14)2/ 1 = circa a 10 m/s2: è quasi 1 g, l’accelerazione di gravità! In altre parole, a questa velocità la forza centripeta è uguale al vostro peso! Ecco perché è bene che non saliate: potete rompere tutto!

NOTA. All’equatore, la Terra percorre 40.000 km in 24 ore. Quindi, le persone che vivono all’equatore sono sottoposte ad una reazione centrifuga che tende a ridurre il loro peso! Di quanto?

Se fate i calcoli, trovate che la velocità all’equatore è di circa 462 m/s, e poiché il raggio della Terra è di 6,37 x 106m, l’accelerazione centrifuga vale 0,033 m/s2. Peccato: non è il modo giusto per dichiarare un peso minore.Vi lascio qui, con una curiosità residua. L’esempio è interessante, ma perché, tra le tante cose fatte da Newton, ci parli proprio di questa? 

Pulsar e buchi neri

Concludiamo, con questo breve articolo, la descrizione dell’evoluzione delle stelle con massa iniziale Mi superiore a 5-8 M¤ (masse solari).Abbiamo visto che queste stelle, al momento del collasso gravitazionale finale, esplodono dando origine a un oggetto brillantissimo, detto supernova, mentre gran parte della materia è lanciata nello spazio e forma un resto di supernova. Avevamo anche anticipato che il nucleo forma una stella di neutroni se, al momento del collasso, ha massa inferiore a 3 M¤, mentre dà origine a un buco nero se è più massiccio.

Le pulsar 

Secondo il modello più accreditato, la rotazione della stella di neutroni su sé stessa genera un campo magnetico molto intenso, le cui linee di forza si chiudono su se stesse, tranne che in corrispondenza dei poli magnetici, dove sono aperte (figura 1). La stella emette un fascio di radiazioni proprio dai poli magnetici in coni piuttosto ristretti, soprattutto nella banda delle radioonde. Per osservare la radiazione è necessario, ovviamente, essere allineati con il cono di emissione. Ma poiché l’asse del campo magnetico, lungo il quale avviene l’emissione, e l’asse di rotazione della stella non sono allineati, ne consegue che si potrà osservare il fascio di radiazioni una volta sola per ogni rotazione della stella, come avviene per la luce emessa da un faro. Quindi percepiremo un “lampo” ad ogni giro della stella, con periodi che vanno da qualche millisecondo a qualche secondo.

Le stelle di neutroni, la cui emissione raggiunge la Terra, sono dette pulsar (sorgente radio pulsante) e le radiazioni emesse possono essere osservate per mezzo di un radiotelescopio. Le emissioni sono talmente regolari che le pulsar vengono utilizzate come orologi in alcuni esperimenti astronomici.

La prima volta che si scoprì una emissione radio con periodo costante, nel 1967, la scopritrice, Jocelyn Bell Burner, la chiamò “Little Green Man – 1”, perché pensava di aver scoperto una trasmissione aliena! 

I buchi neri

Un buco nero è un oggetto che racchiude una massa che va da 3 sino a parecchi miliardi di M¤, confinata in uno spazio ridottissimo. L’attrazione gravitazionale è talmente alta che nemmeno la luce può uscire: da qui l’attributo di “nero”[1]. Un buco nero non può essere osservato direttamente, ma manifesta la sua presenza grazie agli effetti gravitazionali che esercita sui corpi celesti vicini o attraverso le radiazioni che emette la materia che viene catturata. Si pensa che la maggior parte delle galassie contenga al centro un buco nero di grande massa: la nostra Via Lattea contiene un buco nero, chiamato SgrA* (Sagittarius A*), di massa superiore a 4 milioni di M¤.

La superficie immaginaria che circonda il buco nero, dalla quale non può uscire alcuna materia o venir emesso alcun segnale, è detta orizzonte degli eventi.

Nell’aprile del 2019 è stata pubblicata la prima fotografia di un buco nero: quello di M87*, cioè del buco nero che si trova nella galassia M87, che dista da noi 50 milioni di anni luce; la massa del buco nero è stata stimata in 6,5 miliardi di M¤! Ebbene, nel marzo del 2021 è stata pubblicata la fotografia della figura 2, che mostra il disco di accrescimento di M87*, dove si raduna la materia che sta cadendo nel buco nero: l’energia, elevatissima, provoca trasformazioni dirette della massa in energia. Le righe che si vedono sono causate dall’azione del campo magnetico del buco nero sulla materia. L’immagine è stata ripresa dell’Event Horizon Telescope (Telescopio dell’orizzonte degli eventi, EHT) e mostra il buco nero in luce polarizzata. L’EHT è formato da una rete di radiotelescopi distribuiti sulla Terra, che si comporta come un unico grande radiotelescopio ad alta sensibilità e risoluzione.

Per concludere, ecco una sintesi dell’evoluzione delle stelle di sequenza principale.Nei prossimi articoli riprenderemo l’osservazione del cielo e delle sue meraviglie, argomento certamente più piacevole e meno impegnativo.


[1]Primo Lodi ha aggiunto questa nota, per chi desidera approfondire l’argomento: «Ciò che si trova nel buco nero non è ben noto. La legge della relatività generale prevede un punto geometrico, la singolarità, con tutta la massa convertita in energia gravitazionale. Le leggi della Meccanica Quantistica invece, seguendo il principio d’indeterminazione di Heisemberg, non prevedono l’esistenza della singolarità, ma di una massa concentrata in una regione di diametro pari alla lunghezza di Planck, cioè 10-35m».

Newton ha combinato anche questa

Nell’articolo precedente vi ho lasciato con la domanda: dato il diagramma dell’accelerazione, come posso ricostruire il diagramma della velocità e dello spazio percorso?

Notate bene che noi conosciamo già il risultato: sono i nostri diagrammi di partenza! Però, dobbiamo ricostruirli; come fare?

Partiamo dal diagramma della accelerazione: si tratta di ricostruire anzitutto il diagramma della velocità. Come ragioniamo? Come ragionò Newton?

Noi, che ormai sappiamo tutto delle derivate, capiamo che qui si tratta di fare una operazione opposta: quale? Come?

Guardiamo il diagramma: è diviso in tre parti. Nella prima, da 0P1, abbiamo accelerato a 0,5 m/s2per 60 s; nella seconda, da P1P2, l’accelerazione è stata nulla; nella terza, da P2F, l’accelerazione è stata – 1 m/s2. A questo punto, l’unica cosa certa è che tra P1P2 la velocità non è cambiata, perché l’accelerazione è zero: questo significa che l’auto ha raggiunto una certa velocità in P1 e ha continuato con quella velocità sino a P2. OK, ma quale velocità ha raggiunto? Usiamo il nostro laboratorio mentale: ragioniamo. A questo scopo, consideriamo solo il tratto tra 0P1.

Noi abbiamo definito l’accelerazione media come il rapporto tra la velocità raggiunta ed il tempo necessario per raggiungerla:

am= v / t

Ma allora, è anche vero che:

v = am∙t

Poiché la nostra accelerazione è costante, e pari a 0,5 m/s2, questo significa che la formula qui sopra ci consente di calcolare la velocità v, che cambia di continuo al variare di t. Per sottolineare questa variazione continua, scrivo v(t) (si legge vu di t; significa che v dipende da t) invece di v:

v(t) = am∙t

Se guardiamo il diagramma, questo prodotto è semplicemente l’area del rettangolo compreso tra t! Quindi, abbiamo, ad esempio:

v(0) = 0,5 ∙ 0 = 0 ; v(1) = 0,5 ∙ 1 = 0,5 m/s ; v(10) = 0,5 ∙ 10 = 5 m/s ; v(30) = 0,5 ∙ 30 = 15 m/s ; v(60) = 0,5 ∙ 60 = 30 m/s.

Quindi, alla fine dell’accelerazione, siamo arrivati a 30 m/s: corrisponde a quanto sapevamo! Continuando sul nostro diagramma, nel tratto da P1 P2 manteniamo la velocità di 30 m/s; e nell’ultimo tratto? Eccolo.

Attenzione: nell’ultimo tratto dobbiamo considerare che il tempo della decelerazione parte da 130 s: è quanto ho indicato in rosso. Allora: quale sarà la formula che ci consente di calcolare la velocità? Attenti: nel primo tratto siamo partiti da una velocità nulla; qui, invece, partiamo da 30 m/s! E allora? Allora, ecco la formula:

v(t) = v(130) + a ∙ (t – 130)

Dove: v(t) è la velocità dopo 130 s; v(130) (uguale a 30 m/s) è la velocità che avevamo ai 130 s; a è l’accelerazione in questo tratto (negativa: – 1 m/s2); (t – 130) è il tempo oltre i 130 s. In effetti, la formula è la stessa del tratto 0-P1(l’accelerazione iniziale), che nella forma più generale si scrive v(t) = v(0) + a ∙ t, dove, per il tratto iniziale,  v(0) vale zero! 

 Calcoliamo alcuni valori di v:

v(130) = 30 m/s; v(131) = 30 – 1∙1= 129 m/s; v(135) = 30 – 1∙5 = 25 m/s; v(145) = 30 – 1∙15 = 15  m/s; v(160) = 30 – 1∙30 = 0  m/s. Quindi, a 160 s siamo fermi; giusto! Ecco spiegato il diagramma delle velocità!

Infine, calcoliamo lo spazio percorso. Allora, abbiamo detto che la velocità media è 

vm= s / t. Anche per lo spazio, possiamo dire che s = vm ∙ t; però, attenzione! C’è una grossa differenza rispetto al calcolo della velocità a partire dall’accelerazione! E qual è questa differenza? Bravi: il fatto che a era costante, mentre vm cambia di continuo! Come ce la caviamo?

Cominciamo dalla fase di accelerazione: la velocità aumenta costantemente, in proporzione al tempo. Per calcolare lo spazio percorso, armiamoci di pazienza. Supponiamo di dividere il tempo in intervalli di 5 s. 

Per ognuno degli intervalli calcoliamo la velocità media e disegniamo un trattino orizzontale che ne rappresenta il valore. 

Invece di una linea continua abbiamo una scalinata, formata da una serie di rettangolini accostati, che hanno per base l’intervallo di 5s e per altezza la velocità media dell’intervallo. 

Consideriamo il primo gradino: la sua velocità media (ripeto, del gradino), è la metà di quella raggiunta dopo 5 s; quindi: v = a ∙ t / 2= 0,5 ∙ 5 / 2 = 1,25 m/s. Durante questo tempo, quando spazio abbiamo percorso? Beh: s = vm∙ t= 1,25 ∙5 = 7,5 m.

E nel tratto tra 5 e 10 s, quanto è lo spazio percorso? Sono ancora 5 s, ma la velocità media è ora la media tra v(5) e v(10); quindi: vm= (2,5 + 5)/2 = 3,75 m/s. E lo spazio percorso? Vale 3,75 ∙ 5 = 18,75 m. 

Ora appare chiaro che lo spazio, per ogni gradino, è anche l’area del rettangolino compreso fra l’asse del tempo e il valore medio della velocità! Inoltre, capite bene che, continuando con questo sistema, alla fine la somma dell’area di tutti i rettangolini è lo spazio percorso, salvo qualche errore. Quindi, lo spazio totale così calcolato è, quasi, l’area del triangolo formato dall’asse del tempo e dal grafico della velocità! 

Riassumiamo: abbiamo diviso il nostro intervallo di tempo T= 60 s in N= 12 parti: chiamiamo Δt (si legge “delta ti”: il simbolo Δ è la lettera greca delta maiuscola, che ricorda la differenza tra due valori vicini) questo intervallo di tempo. Consideriamo poi il numero n del gradino: n varia da 1 a 12; la velocità media corrispondente, che possiamo calcolare, la chiamiamo v(n). Matematicamente, scriviamo:

La formula si legge: lo spazio s è quasi uguale (il simbolo ≈ ha questo significato) alla sommatoria, per tutti i valori di n compresi tra 1 e N(12), del prodotto della velocità media v(n) relativa all’elemento n, moltiplicata per Δt.

Dopo aver capito questo fatto, Newton ha fatto un’operazione analoga a quella fatta per le derivate; cioè, si è detto: ma se io aumento N all’infinito, cioè se faccio diventare piccolissimi gli intervalli di tempo Δt = T/n, cosa ottengo? Ottengo esattamente l’area del triangolo! Matematicamente, si scrive:

La seconda parte, che graficamente ricorda una esse allungata, dove s sta, appunto, per sommatoria, si legge: “integrale, per t che varia tra zero e t maiuscolo, di v di ti per de ti”.

Ripeto: passando al limite, la sommatoria diventa qualcosa di esatto: appunto, un integrale. E quale è il valore dell’integrale? Beh, siamo capaci di calcolare l’area di un triangolo!

La base del triangolo è T(60 s); la sua altezza è 30 m/s: l’area è 1/2∙60∙30 = 900 m! Guardate un poco il diagramma della prima parte dello spazio: corrisponde!

Due altre domande: e se volessimo conoscere lo spazio percorso al tempo t? Sarebbe sempre l’area del triangolo tra 0 e t; quindi:

s(t) = ½ ∙ v(t) ∙ t

Però, attenzione: v(t) dipende dalla accelerazione, e vale:

v(t) = a ∙ t

Quindi, in conclusione:

s(t) = ½ ∙ a ∙ t2

Ebbene, Newton già sapeva, da Galileo, che un corpo che cade, quindi con accelerazione costante, percorre uno spazio proporzionale al quadrato del tempo trascorso! Tombola!

Ora consideriamo il secondo tratto, quello a velocità costante: ecco il diagramma. Abbiamo appena calcolato che, dopo 60 s di accelerazione, in P1 abbiamo percorso 900 m; e poi? Dove siamo arrivati nel punto t?

Poiché dopo P1 andiamo alla velocità costante di 30 m/s: a partire da P1 lo spazio percorso è

s = v ∙ (t – 60)

 Ma in P1 abbiamo già percorso 900 m; quindi, tra P1P2 lo spazio è:

s(t) = 900 + 30 (t – 60)

In formule, se chiamiamo s1 lo spazio percorso in P1, v1 la velocità in P1t1 il tempo in P1, possiamo scrivere:

s(t) = s1 + v1∙ (t – t1)

E nell’ultimo tratto? Ultimo sforzo!

Cosa succede tra P2e F? Qual è la formula del movimento? Anche nell’ultimo tratto dobbiamo considerare lo spazio precedente e, se chiamiamo s2 lo spazio percorso in P2, v2 la velocità in P2t2 il tempo in P2, possiamo scrivere:

s(t) = s2 + v2∙ (t – t2) + ½ ∙ a ∙ (t – t2)2

Ecco fatto: questa è la formula del caso più generale, quando consideriamo un punto che ha percorso lo spazio s2 ed ha una velocità v2 dopo un tempo t2.

Spero che siate stanchi, ma soddisfatti. Mi avete seguito sino a capire i due mattoni fondamentali dell’analisi matematica: le derivate e gli integrali!!! Capirete anche che c’è tanto ancora da dire: però, per i nostri scopi di capire la fisica dei fenomeni e le leggi che le governano, ci fermiamo qui.  Ritornando alla fisica, riscriviamo il secondo principio della dinamica:

F = m ∙ a; da cui:

a = F / m; e quindi:

F / m = d2s/dt2 Ecco perché Newton ha dovuto creare l’analisi: per rispondere, appunto, alla domanda: come si passa dall’accelerazione alla velocità raggiunta ed allo spazio percorso?

Supernove e stelle di neutroni

Descriviamo, in questo articolo, l’evoluzione delle stelle con massa iniziale (Mi) superiore a 5/8 M¤ (masse solari), quelle che, al momento del collasso gravitazionale finale, hanno un nucleo di massa superiore al limite di Chandrasekhar (1,44 M¤).

Grazie al processo di nucleosintesi, descritto nel precedente articolo, le stelle sono in grado di fondere nei loro nuclei elementi leggeri in elementi più pesanti, rilasciando energia. Per innescare le reazioni di fusione sono necessarie, però, temperature e pressioni sempre maggiori, man mano che aumenta la massa atomica dell’elemento da fondere.

Ecco, in modo sintetico, quello che succede. Quando una stella esaurisce il “combustibile” finora utilizzato e cessano quindi le reazioni nucleari di fusione, il nucleo inizia a contrarsi a causa delle forze gravitazionali, provocando l’aumento della temperatura e della pressione. A questo punto, se vengono raggiunte le condizioni di temperatura e pressione necessarie per la fusione di elementi più pesanti, riprendono le reazioni nucleari e la stella raggiunge un nuovo equilibrio.

Le stelle con Mi fino a 5-8M¤ sono in grado di fondere l’elio in carbonio. Le stelle con Mi compresa fra 5-8e 10-20 M¤possono fondere il carbonio e l’ossigeno per ottenere il silicio; stelle ancora più massicce possono sintetizzare gli elementi fino al ferro. Oltre, come abbiamo visto, non è possibile andare.

Quando si arrestano definitivamente tutte le reazioni di fusione,il nucleo, che ha massa superiore al limite di Chandrasekhar, inizia a collassare, perché la forza di gravitazione non é più bilanciata dalla pressione termica dalle reazioni di fusione e la stella va incontro al collasso gravitazionale.

Le supernove

Il collasso è improvviso e irreversibile e provoca la catastrofica esplosione della stella. Nel giro di pochi minuti la stella diventa miliardi di volte più luminosa del Sole, per poi diminuire lentamente la sua brillantezza nell’arco di qualche mese: si è accesa una supernova! La luminositàdelle supernove è così alta, che spesso supera quella dell’intera galassia che le ospita, tanto che possono essere osservate ad occhio nudo 

Il residuo dell’esplosione resta osservabile anche per migliaia di anni sotto forma di una nube di gas in espansione, che prende il nome di resto di supernova.

La figura 1 mostra la supernova SN 1994D, esplosa nel 2014 nella galassia NGC 4526, appartenente alla costellazione della Vergine, distante circa 55 milioni di a.l. dal Sole. 

La figura 2 mostra l’immagine del resto di supernova RCW 103, a raggi X e in falsi colori, ripresa dal telescopio spaziale Chandra. Il bagliore azzurro al centro è probabilmente prodotto dalla stella di neutroni, di cui parliamo più avanti, mentre la nube è formata dai detriti lanciati nello spazio dall’ esplosione della stella.

Si tratta di un evento che mette in gioco, in poco tempo, una quantità di energia pari a quella che il Sole emette durante la sua intera esistenza e che fa salire la temperatura a centinaia di miliardi di Kelvin! In queste condizioni si liberano grandi quantità di neutroni, che interagiscono con gli elementi chimici e ne producono di nuovi, sino ai transuranici, gli elementi più pesanti conosciuti, con numero atomico maggiore di 92. Questo fenomeno è detto nucleosintesi delle supernove. Senza l’esplosione delle supernove, materiali come l’argento, l’oro, il platino non esisterebbero.

In passato furono ritenute “stelle nuove”, per cui venivano designate con il termine “nova”. La prima testimonianza scritta risale agli astronomi cinesi nel 185 d.C., ma la supernova più nota è SN 1054, che ha dato forma alla nebulosa Granchio, anch’essa osservata dai cinesi nel 1054 (figura 3). I filamenti arancioni sono i resti della stella e sono costituiti principalmente da idrogeno. La stella di neutroni, in rapida rotazione al centro della nebulosa, alimenta con le radiazioni emesse il bagliore bluastro interno della nebulosa. Si tratta di un mosaico di immagini scattate dal telescopio spaziale Hubble nel 1999 e 2000. 

Per conoscere il destino del nucleo, dobbiamo distinguere duecasi: il primo relativo a stelle con nucleo che, al momento del collasso finale, ha massa inferiore a 3 M¤e Mi fino a 10-20 M¤; il secondo relativo a stelle con nucleo e Mi superiori. Nel primo caso il nucleo della stella dà origine a una stella di neutroni, nel secondo caso diventa un buco nero. Di quest’ultimo parleremo nel prossimo articolo.

Nelle stelle di neutroni l’immensa forza gravitazionale, non più contrastata dalla pressione termica delle reazioni nucleari, schiaccia i nuclei atomici, sino al punto che i protoni si combinano con gli elettroni, formando neutroni. La “stella” risulta stabile, poiché le forze gravitazionali sono contrastate dalla pressione della particolare materia degenere di cui é costituita.

Le stelle di neutroni

La massa delle stelle di neutroni è generalmente compresa fra 1,4 e 3 M¤, ma il diametro misura solamente qualche decina di chilometri, per cui la densità è incredibilmente elevata (figura 4). Per rendere l’idea, Wikipedia scrive che:

per riprodurre una densità pari a quella dell’oggetto in questione occorrerebbe comprimere una portaerei nello spazio occupato da un granello di sabbia.

Nel 1934 Walter Baade e Fritz Zwicky, cercando di spiegare l’origine dell’enorme energia che si sprigiona alla formazione di una supernova, supposero l’esistenza di stelle interamente composte di neutroni. Essi ipotizzarono che, nel processo di formazione della supernova, una parte della massa del nucleo si trasformi in energia, secondo la nota equazione di Einstein E=mc².

Le stelle di neutroni ruotano su sé stesse in modo molto rapido, con periodi che vanno da qualche millisecondo a qualche secondo, secondo la legge di conservazione del momento angolare: succede come quando una pattinatrice aumenta la propria velocità di rotazione accostando le braccia al corpo. Così è per la stella, la cui rotazione, lenta all’inizio, accelera man mano che la stella collassa, concentrando la propria massa in uno spazio sempre più ridotto.

Nel prossimo articolo concluderemo l’argomento, parlando delle pulsar e dei buchi neri.

L’evoluzione delle stelle: il caso del Sole

Alla fine del precedente articolo ci siamo lasciati con una domanda: che cosa succede quando una stella ha esaurito l’idrogeno? In prima approssimazione potremmo dire che dipende dalla massa della stella. Se gli affezionati lettori hanno ancora un po’ di pazienza, vediamo di esaminare la situazione un po’ più da vicino.

Da stelle di sequenza principale a giganti rosse

Le reazioni di fusione nel nucleo centrale della stella cessano quando l’idrogeno (H) del nucleo, trasformato in elio (He), si è esaurito. In realtà l’idrogeno continua a essere ancora abbondante negli strati esterni della stella, dove, però, non esistono le condizioni di temperatura e pressione necessarie per innescare la fusione nucleare. Spente le reazioni nucleari, non sussistono più le condizioni che garantivano l’equilibrio della stella e il nucleo riprende a contrarsi per effetto della gravitazione. Quello che succede in seguito dipende dalla massa iniziale (Mi), cioè dalla massa che la stella aveva all’inizio della propria vita, quando era iniziata la fusione dell’idrogeno. Cominciamo ad esaminare il caso di stelle con Mi compresa fra 0,5 e 5/8 M¤ (masse solari).

La contrazione del nucleo della stella ha come conseguenza l’aumento della temperatura e della pressione, anche negli strati esterni al nucleo. Di conseguenza la fusione dell’idrogeno, cessata nel nucleo, prosegue in strati via via più esterni. Si viene così a creare la situazione descritta nella figura 1: il nucleo centrale, costituito da elio inerte, che si contrae per effetto della gravità, è circondato da un guscio (shell) in cui continua la fusione dell’H. L’energia prodotta dalla fusione in shell viene trasferita agli strati più esterni, che si riscaldano, per cui la stella comincia ad espandersi. L’aumento delle dimensioni ha come conseguenza la diminuzione della temperatura superficiale. Infatti, sappiamo che l’energia emessa da una stella dipende dalla sua superficie (4πR2) e dalla temperatura superficiale T (precisamente da T4): quindi, poiché la superficie aumenta, la temperatura superficiale diminuisce.

La stella lascia la sequenza principale del diagramma-HR e si sposta verso le regioni più fredde, diventando una gigante rossa, una stella di dimensioni enormi e con temperature superficiali attorno ai 3000 K. (figura 2).

Nel caso del Sole questa fase evolutiva durerà circa 1 miliardo di anni. Alla fine il Sole avrà un raggio prossimo alla distanza Terra-Sole e una luminosità circa 2.500 volte quella attuale, mentre la temperatura della superficie sarà di 3.000 K circa. Mercurio e Venere verranno inghiottiti e forse il Sole giungerà a lambire la Terra (figura 3). I miei pazienti lettori non si allarmino: noi non ci saremo e il Sole ci riscalderà per almeno altri 5 miliardi di anni! 

Intanto, il nucleo della stella continua a contrarsi, riscaldandosi: quando raggiunge temperature superiori a 100 milioni di gradi, s’innesca la fusione dell’elio in carbonio, con liberazione di energia. Questa fase è decisamente più rapida e violenta della precedente. 

Ma non è finita: aquesto punto il destino della stella dipende dalla massa del suo nucleo, secondo la teoria del fisico indiano Chandrasekhar, più noto come Chandra.

Le nebulose planetarie

Ecco che cosa ha scoperto Chandra nel 1935. Una stella è destinata a collassare in una nana bianca se la massa del nucleo, al momento del collasso gravitazionale finale, è inferiore a 1,4 masse solari, valore che prende il nome di limite di Chandrasekhar. Se, invece, la massa del nucleo supera tale limite, la stella collasserà formando una stella di neutroni o un buco nero. Ma di questi ultimi oggetti celesti ci occuperemo nel prossimo articolo.

Il caso che stiamo esaminando si riferisce proprio a stelle il cui nucleo, al momento del collasso gravitazionale, ha massa inferiore al limite di Chandrasekhar. La relazione tra la massa del nucleo e la massa iniziale non è rigorosa, perché dipende dalla quantità di materia che la stella ha espulso nello spazio: per questo il valore massimo di Mi non è ben definibile e si ipotizza che sia compreso fra 5 e 8 M¤, supponendo che stelle con questa Mi lascino, alla fine del collasso, nuclei di massa inferiore a 1,44 M¤.

Vediamo dunque, in modo schematico, quello che succede. Quando l’He si è esaurito, il nucleo, formato da carbonio, riprende a contrarsi: la temperatura e la pressione aumentano, ma non abbastanza da innescare la fusione del carbonio. Nello strato attiguo al nucleo,grazie all’incremento della temperatura, inizia a fondere l’elio in carbonio, mentre nello strato ancora sovrastante continua a fondere in elio parte dell’idrogeno restante.

La stella aumenta la propria luminosità, mentre perde gran parte del materiale esterno, che va a formare una nebulosa, detta nebulosa planetaria. Il nome di questi oggetti fu coniato da William Herschel, che pensò fossero stelle circondate da materiale che si stava condensando in pianeti.

Il nucleo si contrae molto lentamente e si sposta nel diagramma-HR verso temperature molto alte e luminosità basse, dando origine ad una nana bianca, una stella degenere che già conosciamo. Questa fase è molto rapida e dura solo qualche migliaio di anni.

La figura 4 mostra la nebulosa Occhio di Gattoripresa nel visibile dal Telescopio HST e nei raggi X dalla sonda spaziale Chandra nel 1995. Al centro della nebulosa troviamo il resto della stella che l’ha originata: una nana bianca con temperatura superficiale intorno agli 80.000 K; all’esterno, lamateria espulsa dalla stella dopo la fase digigante rossa.

Nel prossimo articolo concluderemo la descrizione dell’evoluzione delle stelle, esaminando il caso delle stelle più massicce.