Sale e scende la marea…

Cosa mostrano queste due foto? Un famoso monastero, Mont Saint Michel, in Francia: nella foto a sinistra è un’isola; in quella a destra è raggiungibile con una strada.

Immagino che lo conosciate, e che sappiate cosa lo rende alternativamente isola e terraferma: è la marea, che, periodicamente, sale e scende, coprendo un dislivello di ben 14 metri: una cosa ignota nel Mediterraneo, che rende pericoloso passeggiare sulla sabbia (ci sono anche le sabbie mobili). Ma vi siete mai chiesti chi muove così tanto il mare; in altre parole, come si spiegano le maree?

Guardate che la domanda non è banale: gli antichi non riuscivano a raccapezzarsi, e persino Galileo, che ha studiato il fenomeno, ne ha dato una interpretazione sbagliata!

Il primo a capire la dinamica del fenomeno è stato il grande Isaac Newton: nel suo capolavoro, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, pubblicato nel 1686, Newton spiegava il perché della marea. La spiegazione definitiva è stata data a fine 1800 da George Darwin, figlio di Charles Darwin. Vediamo la spiegazione.

Anzitutto, descriviamo meglio il fenomeno: il mare s’innalza, rispetto al livello medio, due volte al giorno; quindi, sia sulla parte della Terra più vicina alla Luna, che sulla superficie opposta! Ebbene, mentre si può pensare che l’acqua, come liquido, possa risentire dell’attrazione lunare, e sollevarsi, il fatto che l’acqua si sollevi anche dalla parte opposta è difficile da capire: sulla parte opposta dovrebbe esserci il minimo di marea, non un secondo massimo; dovrebbe esserci una marea al giorno, e non due! E allora, cosa ha capito Newton?

Ecco un disegno schematico della situazione. La Terra subisce quattro forze: l’attrazione del Sole e la forza centrifuga dal Sole; l’attrazione della Luna e, notate bene, la forza centrifuga causata dalla rotazione della Terra attorno al centro di massa del sistema Terra – Luna. Approfondiamo questo ultimo discorso.

Normalmente si dice che la Luna gira attorno alla Terra, così come si dice che i pianeti girano attorno al Sole, ma non è esattamente così.

In effetti, due corpi celesti che si attraggono si muovono entrambi attorno a quello che è il centro di massa. Per capire di cosa si tratta, domanda: se i due corpi che si attraggono avessero la stessa massa, cosa succederebbe? Si muoverebbero entrambi attorno al punto equidistante dai centri delle due masse!

Ma allora, non è corretto dire che i pianeti girano attorno al Sole? Si, non è corretto: il Sole non è immobile, inchiodato nello spazio! Si dice che i pianeti girano attorno al Sole perché il Sole ha una massa molto superiore a quella dei pianeti; però, la realtà è che anche il Sole si muove a causa del moto dei pianeti. E per il sistema terra – Luna, cosa succede?

Succede che, date le masse della Terra e della Luna e le loro distanze, il baricentro del sistema si trova a 4641 km dal centro della Terra, (quindi, dentro alla Terra), e che entrambi, sia la Terra che la Luna, girano attorno al baricentro, percorrendo un giro completo nei 28 giorni della rivoluzione lunare! Scommetto che non lo sapevate. Ma allora, se le cose stanno così, sulla Terra si sviluppa una reazione centrifuga a questa rotazione!

Normalmente si rappresenta la Terra come un punto, situato al suo centro. Però la Terra non è un punto: con un raggio di circa 6.370 km (pari a 6,37 ∙ 106 m), ha una certa estensione. Di conseguenza, il valore dell’attrazione gravitazionale lunare cambia un poco lungo la sua superficie: è massima nel punto più vicino alla Luna; minima nel punto più lontano.

Quindi, torniamo a noi e parliamo di queste quattro forze, due solari e due lunari. Iniziamo dalla forza di gravità del Sole: dato che la distanza media dal Sole è di 1,5 ∙ 1011 m, la variazione di distanza tra le superfici vicina e lontana dal Sole è piccola: in prima approssimazione, possiamo dire che la sua forza di attrazione è costante su tutta la superficie terrestre (in effetti, esiste anche una, visibile, marea solare).

E le altre due forze? Diamo un’occhiata al disegno schematico.

Partiamo dai poli: le due forze, attrazione lunare e forza centrifuga, si compongono e danno una risultante ortogonale alla superficie terrestre: l’acqua viene schiacciata verso il centro; è la causa della bassa marea.

Andiamo ora sulla superficie più vicina alla Luna: qui l’attrazione gravitazionale della Luna è massima, mentre è minima la forza centrifuga; risultato: alta marea.

Andiamo infine sulla superficie più lontana dalla Luna: qui l’attrazione gravitazionale della Luna è minima, mentre è massima la forza centrifuga; risultato: alta marea.

Riuscite ad immaginare l’enorme energia necessaria per alzare le masse d’acqua degli oceani? Secondo voi, anche la parte solida della Terra è completamente immune da movimenti elastici?

La realtà è che la Terra si muove per queste forze. Ora, vi anticipo un concetto: ogni movimento di masse implica un consumo di energia e, poiché l’energia non si crea dal nulla, ci deve essere qualcosa che fornisce questa energia. E sapete cos’è? È la Luna; questa dissipazione di energia la fa rallentare; ciò che causa il suo lento allontanamento dalla Terra. Stiamo parlando di 3,8 cm di allontanamento all’anno. Poco? La Terra si è formata circa 4,5 miliardi di anni fa; all’inizio, la Luna era a circa la metà della distanza attuale!

E la Terra? Anche la Terra perde energia, e rallenta; di pochissimo (18 μs/anno), ma è una quantità misurabile.

Ultima considerazione: vi ho detto che la Terra è una sfera, ma anche che è (leggermente) plastica; e allora? Allora, la Terra non ha una forma sferica: la forza centrifuga dovuta alla rotazione attorno al suo asse la ha allargata all’equatore: è uno sferoide.

L’equatore misura 12.756 km; il meridiano invece misura 12.713 km. Newton aveva capito questo fatto; però, secondo Cartesio la forma doveva essere opposta, tipo un’anguria, allungata sull’asse di rotazione.

Per dirimere la questione, a metà settecento l’Accademia delle Scienze di Parigi realizzò una spedizione verso l’Artide, che confermò lo schiacciamento ai poli.

Voltaire era un grande ammiratore di Newton; il suo commento fu:

«Vous avez confirmé, dans ces lieux pleins d’ennuis, ce que Newton connut sans sortir de chez lui». E cioè: Voi avete confermato, in quei luoghi pieni di problemi, ciò che Newton sapeva senza uscire di casa».

In altre parole, la mente supera la bruta materia!

Ma chi gira: la Terra o il Sole?

I nostri antichi pensavano che la Terra fosse ferma, e che il Sole le girasse attorno: ancora oggi sembra che il 25% delle persone la pensi come gli antichi (!). Le principali ragioni per essere certi che la Terra è fissa erano le seguenti:

  • se la Terra ruotasse, ci sarebbero dei venti continui verso ovest (nell’emisfero settentrionale);
  • un oggetto, cadendo da una torre, non arriverebbe ai piedi della torre perché, durante la caduta, la Terra si sarebbe spostata verso est.

La prima conclusione è sbagliata e giusta. È sbagliata perché l’atmosfera terrestre ha un peso, ed è trascinata dalla Terra durante la sua rotazione (notate che, se così non fosse, avremmo dei venti a circa 1000 km/h!). È giusta perché gli antichi, che non si erano mai avventurati nell’oceano Atlantico, non sapevano dell’esistenza degli alisei, venti che soffiano, nel nostro emisfero, da nord–ovest a sud–est: e questo perché l’atmosfera non è un oggetto solido, ma è un fluido con una viscosità molto bassa.

La seconda conclusione è giusta! Però, c’è un però: lo spostamento dell’oggetto rispetto ai piedi di una torre è piccolissimo, e difficile da osservare. Vediamo di cosa stiamo parlando.

Nel disegno, molto approssimativo, abbiamo la torre, alta h, che si erge sulla Terra, di raggio R. Quando lasciamo andare il corpo P, cosa succede?

Se (poiché) la Terra gira sul suo asse (per essere precisi, rispetto alle stelle), il corpo P, sulla torre, ha una velocità v2, che dipende dalla sua distanza dall’asse della Terra, che è uguale a: R + h. Difatti, la Terra gira sul suo asse con la velocità ω, pari a 1 giro ogni 24 ore; quindi, la velocità v2 vale: v2 = ω (R + h). Per il principio d’inerzia, il corpo P procede con la sua velocità v2 sino a quando tocca il suolo. Chiaro?

Se T è il tempo necessario alla caduta, il corpo P, quando tocca terra, si è spostato di s2 = T ∙ v2. Quando arriva ai piedi della torre, il corpo P atterra ai piedi della torre? Vediamo…

La base della torre dista R dal centro della Terra: la sua velocità v1 è: v1 = ω ∙ R. Dopo il tempo T, la base si è spostata di s1 = T ∙ v1, che è più piccolo di s2! Ma perché nessuno se ne è mai accorto? Per rispondere, facciamo due conti. Anzitutto, la differenza s2 – s1 vale:

s2 – s1 = T ∙ ω ∙ (R + h) – T ∙ ω ∙ R = T ∙ ω ∙ h

Si poteva pensare che, poiché R è grandissimo rispetto all’altezza della torre, lo spostamento fosse piccolissimo: si scopre, invece, che non dipende dal raggio R della Terra! Attenzione, però: se h è piccolo rispetto a R, anche s2 – s1 lo è, nella stessa proporzione!

Ma allora, di quanto si sposta P dalla base della torre? Facciamo un esempio. Supponiamo che la torre sia alta ben 100 m. Poiché un giorno dura 86400 s, la velocità di rotazione della Terra è ω = 1/86400 giri/s. Noi sappiamo calcolare il tempo T di caduta di P dalla torre: parlando di Newton, abbiamo visto che lo spazio h percorso nel tempo T da un corpo accelerato con accelerazione g vale: h = g ∙ T2/2, dove g è l’accelerazione di gravità. Da ciò deriva che T = √2∙h/g

Poiché g = 9,8 m/s2, troviamo T = 4,5 s; quindi: s2 – s1 = 5,2 mm

Avete capito perché non si vede lo spostamento? Perché è troppo piccolo! Considerando poi la resistenza dell’aria, il vento, eccetera, non c’è speranza di eseguire questa misura.

Ma allora, non c’è nessun modo per avere la conferma diretta della rotazione della Terra? Il metodo c’è, ed è stato ideato nel 1851 da Jean Foucault. Di cosa si tratta? Prima di spiegarvelo, una premessa: noi siamo sulla Terra, che gira attorno al proprio asse. Come abbiamo visto, il movimento di rotazione è ben diverso da quello rettilineo uniforme, poiché richiede la presenza della forza centripeta. Ma non basta: c’è un altro fenomeno da considerare.

Allora: saliamo nuovamente sulla giostra, ci mettiamo sul suo asse, e, mentre la giostra gira, lanciamo un pallone ad un nostro amico che si trova a terra e che, al momento del lancio, sta di fronte ad un puntino rosso disegnato sulla giostra. Cosa succede?

Mentre il pallone vola, la giostra gira in senso antiorario, così che quando il pallone arriva al mio amico, la giostra ha percorso un certo arco e il puntino rosso si è spostato. E il pallone? Per il principio d’inerzia, il pallone viaggia con un moto rettilineo uniforme verso il mio amico, che si trova a terra. Per lui, quindi, la traiettoria del pallone è un tratto rettilineo che parte dal centro della giostra e va verso di lui.

Ma ora facciamo salire anche il mio amico sulla giostra in corrispondenza del puntino rosso. Lancio di nuovo il pallone come prima verso il puntino rosso. Cosa succede ora?

Il mio amico gira con la giostra insieme a me e si rende conto che ora il pallone non procede verso di lui, ma segue una traiettoria curva tanto più accentuata quanto più la giostra gira velocemente, come evidenziato dalla figura.

Siccome il mio amico sa che un oggetto per compiere una traiettoria curva ha bisogno di un intervento esterno, conclude che il pallone è stato spinto da una forza!

Nel 1835, Gaspard-Gustave de Coriolis ha calcolato questa forza, precisando che si tratta di una forza apparente, causata dal movimento della giostra. Perché ci interessa la forza di Coriolis? Perché ci serve per dimostrare che noi siamo su una sfera che gira e quindi sulla terra questa forza agisce! In particolare, sposta l’aria da nord verso l’equatore, nel nostro emisfero: ecco spiegata la direzione nord-ovest sud-est degli alisei. Non solo: ecco spiegata la formazione dei cicloni, che ruotano in senso antiorario nell’emisfero settentrionale.

Ciò premesso, cosa ha pensato Foucault? Ha pensato che se si prende un corpo, lo si appende ad una fune e lo si fa oscillare, l’oscillazione avviene su un piano, se lo si vede dalle stelle (che equivalgono al nostro amico fuori dalla giostra, a terra). Ma noi siamo sulla Terra, e la Terra gira: un corpo in movimento è soggetto alla forza di Coriolis. Allora, guardando il pendolo che oscilla, cosa vediamo?

Vediamo che l’estremità del pendolo, invece di muoversi lungo una retta, percorre delle strane traiettorie curve, che non s’intersecano al centro della oscillazione, come farebbero dei raggi, e che deviano verso destra (nell’emisfero settentrionale).

A sinistra vedete lo schema del movimento: il pendolo va da A a B a C eccetera (il movimento della Terra è molto minore!).

A destra vedete il pendolo realizzato da Foucault, ed installato nel Pantheon di Parigi: la sfera è cerchiata in rosso. Il cavo è lungo 68 m; la massa è 28 kg. Una punta in basso traccia un lieve segno sulla sabbia posta nella parte centrale sopraelevata: per vedere il movimento, occorre del tempo. Quanto tempo?

Pensiamo un poco: se ci mettiamo con il nostro pendolo ad uno dei poli, cosa vedremo? Vedremo che la Terra gira in un giorno; quindi, in 24 ore il pendolo farà un giro completo. Chiaro?

Bene: ora, ci mettiamo all’equatore: cosa vediamo? Se ci pensate bene, all’equatore il movimento della Terra è perpendicolare all’asse di rotazione: il piano di oscillazione del pendolo non cambia mai!

Ed alle altre latitudini? Ecco la formula del tempo necessario per una rotazione completa:

T (ore) = 24/senα,

dove T è il tempo, in ore, della rotazione; 24 le ore del giorno; α è la latitudine. A Parigi, T = 32 ore (circa).

Conclusione: la Terra gira, e ne abbiamo la prova!

Disegno dell’orbita dei pianeti

Partendo dalle equazioni di Newton, vogliamo disegnare l’orbita della Terra attorno al Sole. Gli assi coordinati x e y hanno l’origine nel Sole. In questo lavoro apportiamo una semplificazione: supponiamo che il sole stia fermo mentre la Terra gli gira attorno. La realtà è che anche il Sole si muove sotto l’attrazione della Terra: in effetti, si muovono entrambi, Terra e Sole, attorno al centro di massa del sistema Terra-Sole.

Cos’è e dove si trova questo centro di massa? In sintesi, il centro di massa è il fulcro, virtuale, di una leva che ha Terra e Sole ai suoi estremi. Date le masse di terra e Sole e la loro distanza, si trova che il centro di massa del sistema dista circa 5∙105 m dal centro del Sole. Tanto? Attenti: sono 500 km, mentre il Sole ha un raggio di 700.000 km! Ecco perché la nostra approssimazione è valida.

Noi ci proponiamo di disegnare la forma dell’orbita della Terra usando il calcolo numerico, cioè approssimando le equazioni esatte. Prima di tutto, dobbiamo definire il sistema di coordinate rispetto al quale calcolare il movimento: la cosa più semplice è mettere gli assi coordinati sul piano dell’eclittica; ecco il disegno della Terra e del Sole ad un certo istante. La Terra è sottoposta all’attrazione gravitazionale del Sole e si sta muovendo sulla sua orbita con velocità v.

Ora il nostro compito è quello di riscrivere la seconda equazione della dinamica e la legge di gravitazione universale in modo tale da ottenere le equazioni che ci servono per disegnare l’orbita terrestre. La forza di attrazione del Sole sulla Terra si scompone in due componenti, entrambe negative, perché in direzione opposta rispetto a quella degli assi:        

F = forza Terra – Sole;

Fx, Fy = componenti della forza;

x,y = coordinate della Terra;

r = distanza Terra – Sole.                                    

Dalla similitudine tra i triangoli F, Fx, Fy e r, x, y otteniamo:                                                

Fx/F = – x/r; Fy/F = – y/r; ergo:

Fx = -x∙F/r = -G∙M∙m∙x/r3

Fy = -y∙F/r = -G∙M∙m∙y/r3

Dalla legge di gravitazione universale e dalla seconda legge della dinamica abbiamo:

d2s/dt2 = -G∙M/r2

Quindi le componenti dell’accelerazione sono:

d2x/dt2 = ax = -G∙M∙x/r3

d2y/dt2 = ay = -G∙M∙y/r3

Poiché d2s/dt2 = dv/dt, scriviamo le tre leggi che ci consentono di disegnare l’ellisse:

dvx/dt = -GMx/r3

dvy/dt = -GMy/r3

r = √(x2 + y2)

Come dicevo, questo sistema di equazioni è risolubile in forma esatta; però, adottiamo invece un approccio numerico che non richiede la conoscenza delle equazioni differenziali. Come sapete, l’operazione dx/dt richiede di passare al limite del rapporto; noi, invece di arrivare al limite, scegliamo un Δt convenientemente piccolo, così da non sbagliare troppo nel disegno dell’ellisse, e calcoliamo dalla formula il valore di x corrispondente. Iterando i calcoli un numero sufficiente di volte arriviamo a disegnare l’ellisse completa. Tutto ciò si può fare in modo abbastanza semplice usando EXCEL od un simile programma spreadsheet.

Ho tratto quanto segue dal libro di fisica di Feynman: scusate se è poco!

Ribadiamo il concetto di ciò che stiamo per fare. Per semplificare, iniziamo i calcoli all’istante t = 0, quando la Terra si trova su un punto dell’asse x; inoltre prendiamo, per ora, dei valori arbitrari, che non modificano la forma dell’orbita terrestre. Quindi, partiamo da x(0) = 0,5; y(0) = 0: conosciamo i valori di vx e vy?

Come si vede dal disegno, vx(0) = 0; per vy diamo il valore vy(0) = 1,57. Cos’è quello strano valore per vy? Niente paura: è π/2: ci semplifica il disegno. Infine, prendiamo Δt = 0,1 (con EXCEL è facilissimo cambiare i parametri!).

Bene: tutto ciò che dobbiamo fare è calcolare i valori di x e y dopo un tempo pari a Δt, 2Δt, 3Δt… sino a quando abbiamo disegnato tutta l’ellisse. E come si procede?

Anzitutto, sempre per semplificare, poniamo G∙M = 1 (è solo una costante moltiplicativa): le formule diventano:

Δvx/Δt = -x/r3 = ax

Δvy/Δt = -y/r3 = ay

r = √(x2 + y2)

Da cui otteniamo:

Δvx = Δt∙ax;

Questa formula si riferisce alla variazione di velocità. Quando è passato il tempo N∙Δt dall’inizio, la Terra avrà acquistato la velocità vx(N); quindi, all’istante (N+1)∙Δt, la velocità vx(N+1) sarà uguale alla velocità precedente vx(N) più la variazione di velocità Δvx; quindi:

vx(N+1) = vx(N) + Δt∙ax

Analogamente, vy(N+1) = vy(N) + Δt∙ay

Quindi, una volta noti vx(0), vy(0), ax(0), ay(0), possiamo calcolare i vx e vy successivi. Infine, le nuove posizioni della terra sono:

x(N+1) = x(N) + Δt∙vx

y(N+1) = y(N) + Δt∙vy

Vedete? Conosciamo x(0), y(0), vx(0) e vy(0): completiamo i dati iniziali calcolando r(0), ax(0), ay(0), usando le formule qui sopra. Otteniamo:

r(0) = 0,5; ax(0) = -4; ay(0) = 0                                                               

Spero che sia tutto chiaro!                                                          

Bene: ora facciamo ciò che è facile con EXCEL: costruiamo una tabella con i valori di: x, y, r, ax, ay, vx, vy e poi incrementiamo Δt.            Ecco l’intestazione della tabella, i valori iniziali ed i valori calcolati per il primo passo.

NxyraxayvxvyΔt
00,500,5-4001,570,1
10,50,1570,524-3,473-1,090-0,3471,460 

Nella tabella trovate anche Δt perché, a questo modo, posso verificare l’esito dei calcoli con valori diversi: più Δt è piccolo, più preciso è il disegno.

Quante volte devo riciclare i calcoli? Semplice: guardate i valori di x; li vedrete diminuire e poi aumentare. Quando i valori ritornano a 0,5 avete disegnato una ellisse completa.

Se usate EXCEL, per avere il diagramma dell’elaborazione selezionate le colonne x e y, e la funzione Inserisci Grafici x,y: ecco il risultato!

Ecco l’ellisse, come promesso! Però, come vedete, l’ellisse è un poco grossolana: proviamo a usare Δt = 0,04; ecco il risultato.

Ottimo! Con Δt più piccoli aumenta la precisione del disegno (ed il numero di passi necessari); e con Δt maggiore? Ad esempio, con Δt = 0,2?

Come vedete, l’ellisse non si richiude su sé stessa: l’errore cumulativo è troppo grande.

Ma voi dite: vorremmo disegnare la traiettoria reale della Terra! Rispondo: non è difficile; è sufficiente usare le stesse formule, ed i parametri reali, che riassumo.

MASSA
TERRA
MASSA
SOLE
DISTANZA
T – S
VELOCITA
TERRA
COSTANTE
G
ANNOCOST
G*Ms
kgkgmm/sm3kg-1s-2sm3s-2
5,97E+242,00E+301,50E+113,00E+046,67E-113,16E+071,33E+20

Attenti: sono parametri che trovate facilmente, tranne, forse, la velocità della Terra. Assimilando l’ellisse ad un cerchio, la Terra compie la circonferenza in un anno: da qui ricavate la sua velocità.

E per quanto riguarda Δt? Considerate che la Terra impiega un anno per compiere il giro attorno al Sole: sono 365 giorni. Poiché un giorno dura 86400 s, se prendete dei multipli del giorno sapete anche quanti passi calcolare per disegnare l’ellisse. Ad esempio, usando Δt = 432.000 s, cioè 5 giorni, occorrono 365/5 = 73 passi.

Ecco l’inizio della tabella di calcolo, con i valori iniziali e la prima riga calcolata.

NxyraxayvxvyΔt
01,50E+1101,50E+11-5,93E-030,00E+0003,00E+04432000
11,50E+111,30E+101,5056E+11-5,86E-03-5,07E-04-2,53E+032,98E+04 

Ed ecco l’ellisse reale.

Mi fermo qui, ma, se volete, potete aggiungere un altro pianeta, e calcolare le due orbite: in questo caso, ci sono più forze in gioco. Supponiamo di voler aggiungere anche Giove: sulla Terra agiranno l’attrazione del Sole e quella di Giove; su Giove, l’attrazione del Sole e quella della Terra. Buon divertimento a chi si cimenta! Attenti, però: il metodo che abbiamo seguito è l’unico che possiamo utilizzare per calcolare le orbite dei pianeti con più di un pianeta che orbita attorno al Sole: con più di un pianeta, le equazioni di Newton non sono risolubili in forma esatta!

Perche la luna non cade?

Per un momento, dimentichiamo tutto ciò che la scienza ci ha spiegato della Luna, e facciamoci incantare dalla sua presenza nel cielo. Non è senza motivo se gli antichi hanno pensato che fosse una dea benigna, che ci rischiara le notti e ci dà una misura del passare delle stagioni.

Come dea, doveva essere qualcosa di perfetto, ben diverso dalla nostra Terra, piena com’è di problemi di tutti i tipi! Ed ecco Aristotele, peraltro geniale, porla in un suo cielo etereo, irraggiungibile, mentre noi apparteniamo alla realtà “sublunare”.

Molti secoli dopo, Galileo Galilei ha puntato il telescopio sulla Luna, ha visto pianure, montagne, crateri, ed ha capito che la Luna è un oggetto materiale. Immagino che questo concetto fosse già nel sentimento comune; ad ogni modo, questo fatto era acquisito circa sessanta anni dopo, quando Newton era giovane e pieno d’idee.

Ma se la Luna è un oggetto, perché non cade?

La leggenda dice che un giorno Newton ha visto una mela cadere, e si è posto proprio questa domanda. Ripeto: l’idea che la Luna fosse un oggetto, come la Terra, il Sole, i pianeti, era stata acquisita da poco.

Ecco ciò che ha pensato Newton (sempre il nostro cervello come laboratorio): la mela cade in seguito all’azione di una forza, la forza di gravità. Ma questa forza di gravità è confinata sulla Terra, o si estende dovunque?

Ecco il pensiero audace: la forza di gravità si estende ovunque; in particolare, dalla Terra alla Luna; dal Sole alla Terra ed ai pianeti! Inoltre, è ragionevole pensare che questa forza sia generata dalla massa dell’oggetto, e che cambi con la distanza, secondo una legge da definire. Attenzione, ripeto: questa forza e la legge che la governa sono le stesse in tutto l’universo, sino alla stella più remota: è la legge di gravitazione universale! Se questo non è un pensiero audace, datemi un altro esempio di audacia intellettuale. In conclusione, Newton si aspettava che la forza di gravitazione seguisse la seguente legge:

F = G ∙ m1 ∙ m2 / Rx

Dove: F è la forza di gravità tra i corpi 1 e 2, rispettivamente di masse m1 e m2; G è una costante di proporzionalità; R è la distanza tra i corpi; x è un esponente da dare a R, che definisce quanto rapidamente diminuisce la forza F con la distanza (con R = 1 la forza diminuisce con la distanza; con x = 2 diminuisce con il quadrato della distanza, eccetera).

In questa formula, Newton aveva una conoscenza approssimata delle masse della Terra e della Luna; credeva di conoscere R, cioè la distanza Terra – Luna, ma era sbagliata; infine, non conosceva né l’esponente x, né la costante G: come fare per calcolarle? Vediamo cosa ha combinato Newton.

Partiamo dall’ipotesi: la Terra esercita lo stesso tipo di forza sia sulla mela che sulla Luna; ma allora, perché la Luna non cade? Risposta: non cade perché gira attorno alla Terra! La Terra attrae la Luna con una forza centripeta; la Luna non cade perché, girando, sviluppa una reazione centrifuga uguale ed opposta alla forza centripeta terrestre.

Vedete a cosa è servito a Newton saper calcolare l’accelerazione centripeta di un corpo rotante di moto circolare uniforme? Il bello è che sapete calcolarlo anche voi! Come?

Ricordiamoci la formula: a = v2 / R, dove: a è l’accelerazione centripeta esercitata dall’attrazione terrestre, da calcolare; v è la velocità della Luna; R è la sua distanza.

Noi sappiamo che la Luna descrive una orbita ellittica attorno alla Terra; però, non andiamo troppo per il sottile: diciamo che l’orbita è circolare, con una distanza media di 384.400 km: con R siamo a posto. E la velocità v? beh, anche questo lo sappiamo: il mese lunare dura 27,32 giorni terrestri. Allora, nessuna paura: convertiamo i km in metri, ed i giorni in secondi.

Risulta: R = 384.400.000 m; si può scrivere R = 3,84 ∙ 108 m. Il periodo T di rotazione è T = 27,32 giorni. Poiché un giorno dura 86400 s, il periodo è T = 2.360.448 s. In conclusione, la circonferenza percorsa dalla Luna è S = 2 ∙ 3,14 ∙ R = 2,414 ∙ 109 m; la velocità è v = S / T = 1020 m/s! Caspita, quanto viaggia veloce la nostra Luna! Chi l’avrebbe mai detto? Ma allora, l’accelerazione vale a = v2 / R = 2,7 ∙ 10-3 m/s2.

E sulla Terra, quanto vale l’accelerazione di gravità? Newton lo sapeva: 9,81 m/s2. OK; e qual è la distanza della mela dalla Terra? Voi, in coro: circa due metri! Attenti, ferma tutto!

Ragioniamo un poco: l’attrazione della Terra sulla mela proviene forse da quel poco di terra che si trova sotto l’albero, o proviene da tutta la massa della Terra? Ecco l’altra enorme intuizione di Newton: proviene, obbligatoriamente, da tutta la massa della Terra! Bene, è ragionevole; anzi, ovvio. Però, ora siamo nei pasticci: dobbiamo tagliare la Terra a fettine, e calcolare separatamente l’attrazione di ogni fettina sulla mela?

Ed ecco la formidabile, e conclusiva, intuizione di Newton: l’attrazione delle varie fettine della Terra equivale a quella di un punto che si trova al centro della Terra!

Pensiamoci: avrà ragione Newton? Beh, siamo in una situazione in cui ad ogni fettina vicina alla mela ne corrisponde un’altra simmetrica rispetto al centro della Terra. Quella vicina attira di più, quella lontana attira di meno; in media, è come se si trovassero al centro.

Newton conosceva le dimensioni della Terra; quindi, poteva dire che la mela si trovava a 6,39 milioni di metri dal centro: 6,39 ∙ 106 m.

Quindi, alla conclusione delle sue elucubrazioni, Newton aveva questi numeri:

  • Accelerazione della forza di gravità. Sulla Terra: g = 9,81 m/s2; sulla Luna, a = 2,7 ∙ 10-3 m/s2;
  • Distanza mela – Terra (centro): R = 6,39 ∙ 106 m; distanza Luna – Terra: d = 3,84 ∙ 108 m;
  • Rapporto g/a: 3600; rapporto d / R = 60.

Ma allora, l’accelerazione aumenta di 3600 volte quando la distanza diminuisce di 60 volte! Poiché 3600 = 602, se ne deduce che:

x = 2

La legge di gravitazione universale deve essere del tipo:

F = G ∙ m1 ∙ m2 / R2

E per G? Che valore ha?

Newton non ha potuto calcolarlo o misurarlo: ci ha pensato Henry Cavendish che, nel 1798, con una bilancia di precisione chiamata pendolo a torsione, e con tanta pazienza, ha misurato:

G = 6,674 ∙ 1011 m2/kg∙s2

Nella bilancia, M e m si attirano. La loro attrazione fa ruotare le due masse m di un angolo θ. Alla rotazione si oppone il filo K, che si torce. Una volta calibrato il filo K, e stabilito il rapporto tra la forza F e l’angolo θ, si può misurare la costante G:

G = F ∙ r2 / m ∙ M

Attenti: facile da dirsi…

Conclusione: man mano che le misure di R, massa della Terra, massa della Luna si sono affinate, è stato possibile affinare la formula. Poi, grazie ai suoi calcoli di derivate ed integrali, Newton ha potuto dimostrare che le orbite della Luna e dei pianeti, descritte da Keplero, erano conseguenti alla sua legge! Trionfo totale!

Tutti sulla giostra!

Eccoci qui al parco giochi: tra gli altri, c’è un bel girello che ci aspetta. Non c’è nessuno e, anche se sarebbe vietato, ci salite per un attimo, e girate. Però, sorpresa: cos’è questa forza che sentite, e che vi spinge in fuori? 

Voi, che ricordate bene il primo principio della dinamica, vi chiedete: non sto accelerando, sto girando con una velocità uniforme, eppure sento questa forza! Perché?

Qui è d’uopo ritornare alla cinematica, ed al fatto che la velocità è un vettore, e non uno scalare. Pensate bene: sul girello, anche se andate a velocità costante, in effetti cambiate di continuo direzione! E allora?

Allora, il secondo principio della dinamica dice che per cambiare velocità, inclusa la direzione della velocità, è necessario applicare una forza. OK, ma perché sento una forza diretta in fuori?

È perché vi sbagliate: quella che sentite non è l’azione del girello, che, in effetti, vi spinge verso l’interno, per farvi curvare, ma bensì, per il terzo principio della dinamica, sentite la reazione del vostro corpo, che è uguale e contraria all’azione del girello. Quindi, con un semplice girello abbiamo un ottimo esempio dell’applicazione dei tre principi della dinamica di Newton!

Per inciso, si chiama forza centripeta, cioè diretta verso il centro, quella che il girello esercita su di voi; la vostra reazione, uguale e contraria, si chiama reazione centrifuga. State attenti: sbagliarsi è facilissimo. E se la vostra reazione fosse superiore all’azione? Vorrebbe dire che qualcuno ha tolto la spalliera del girello, e che voi state cadendo! In che direzione state cadendo state cadendo? Guardiamo il lanciatore del martello!

Ecco: vedete il disegno? Quando il lanciatore rilascia il martello, questo non va verso l’esterno, in direzione radiale, ma bensì in direzione tangente al cerchio. Perché?

Perché rilasciando il martello si annulla la forza centripeta (e, in conseguenza, la reazione centrifuga): da quel momento, vale la legge della dinamica che dice che i corpi continuano con il moto rettilineo uniforme sinché una forza non li devia. La forza non c’è più: il martello procede diritto. Come voi sapete, il lanciatore si trova in una gabbia: deve ben sapere come si muoverà l’attrezzo quando lo rilascia, altrimenti gli finisce sulla gabbia: lancio nullo.

Meditando su questi fatti, il nostro buon vecchio Newton si è chiesto: ma quanto vale questa forza? Posso calcolarla?

Vediamo un poco. 

Abbiamo un oggetto, ad esempio il martello, che viaggia di moto circolare uniforme con velocità v. Ad ogni momento l’oggetto cambia direzione: nell’intervallo di tempo Δt si sposta di un arco di cerchio Δs = v ∙ Δt

NOTA: il simbolo greco Δ è la delta maiuscola, e dice che il tempo trascorso Δt è piccolo a piacere.

Durante l’intervallo Δt, di quanto è cambiata la velocità? Voi dite: ma hai detto che è costante! Si ma, poiché è cambiata in direzione, in effetti è cambiata di Δv: osservate la figura! E allora? Come calcolarla?

Allora, consideriamo il triangolo formato da Δs, R, R: è simile al triangolo formato da Δv, v, v. Voi dite: ma no; Δs è un arco di cerchio! Risposta: ecco che si spiega perché Newton ha inventato le derivate; quando Δt tende a zero, cioè a dt, la similitudine diventa esatta!

Tra i due triangoli simili possiamo scrivere:

Δs/R = Δv/v

Ma abbiamo detto che: Δs = v ∙ Δt

Inoltre, per definizione, l’accelerazione a vale: a = Δv/ Δt. Non sorprendetevi se Δv è (quasi) in direzione radiale!

Allora, dalla similitudine otteniamo:

v ∙ Δt / R = Δv/v

v2/R = Δv/ Δt = a

Quindi: 

a = v2/ R

Facciamo un rapido calcolo. Il girello ha (circa) il diametro di 2 m, quindi R = 1 m; la circonferenza è 2 ∙ 3,14 ∙ 1 = 6,28 m. Se fate un giro in 2 s, abbiamo una velocità v di: v = s / t = 6,28 / 2 = 3,14 m/s. Allora, l’accelerazione vale: a = v2/R = (3,14)2/ 1 = circa a 10 m/s2: è quasi 1 g, l’accelerazione di gravità! In altre parole, a questa velocità la forza centripeta è uguale al vostro peso! Ecco perché è bene che non saliate: potete rompere tutto!

NOTA. All’equatore, la Terra percorre 40.000 km in 24 ore. Quindi, le persone che vivono all’equatore sono sottoposte ad una reazione centrifuga che tende a ridurre il loro peso! Di quanto?

Se fate i calcoli, trovate che la velocità all’equatore è di circa 462 m/s, e poiché il raggio della Terra è di 6,37 x 106m, l’accelerazione centrifuga vale 0,033 m/s2. Peccato: non è il modo giusto per dichiarare un peso minore.Vi lascio qui, con una curiosità residua. L’esempio è interessante, ma perché, tra le tante cose fatte da Newton, ci parli proprio di questa? 

Newton ha combinato anche questa

Nell’articolo precedente vi ho lasciato con la domanda: dato il diagramma dell’accelerazione, come posso ricostruire il diagramma della velocità e dello spazio percorso?

Notate bene che noi conosciamo già il risultato: sono i nostri diagrammi di partenza! Però, dobbiamo ricostruirli; come fare?

Partiamo dal diagramma della accelerazione: si tratta di ricostruire anzitutto il diagramma della velocità. Come ragioniamo? Come ragionò Newton?

Noi, che ormai sappiamo tutto delle derivate, capiamo che qui si tratta di fare una operazione opposta: quale? Come?

Guardiamo il diagramma: è diviso in tre parti. Nella prima, da 0P1, abbiamo accelerato a 0,5 m/s2per 60 s; nella seconda, da P1P2, l’accelerazione è stata nulla; nella terza, da P2F, l’accelerazione è stata – 1 m/s2. A questo punto, l’unica cosa certa è che tra P1P2 la velocità non è cambiata, perché l’accelerazione è zero: questo significa che l’auto ha raggiunto una certa velocità in P1 e ha continuato con quella velocità sino a P2. OK, ma quale velocità ha raggiunto? Usiamo il nostro laboratorio mentale: ragioniamo. A questo scopo, consideriamo solo il tratto tra 0P1.

Noi abbiamo definito l’accelerazione media come il rapporto tra la velocità raggiunta ed il tempo necessario per raggiungerla:

am= v / t

Ma allora, è anche vero che:

v = am∙t

Poiché la nostra accelerazione è costante, e pari a 0,5 m/s2, questo significa che la formula qui sopra ci consente di calcolare la velocità v, che cambia di continuo al variare di t. Per sottolineare questa variazione continua, scrivo v(t) (si legge vu di t; significa che v dipende da t) invece di v:

v(t) = am∙t

Se guardiamo il diagramma, questo prodotto è semplicemente l’area del rettangolo compreso tra t! Quindi, abbiamo, ad esempio:

v(0) = 0,5 ∙ 0 = 0 ; v(1) = 0,5 ∙ 1 = 0,5 m/s ; v(10) = 0,5 ∙ 10 = 5 m/s ; v(30) = 0,5 ∙ 30 = 15 m/s ; v(60) = 0,5 ∙ 60 = 30 m/s.

Quindi, alla fine dell’accelerazione, siamo arrivati a 30 m/s: corrisponde a quanto sapevamo! Continuando sul nostro diagramma, nel tratto da P1 P2 manteniamo la velocità di 30 m/s; e nell’ultimo tratto? Eccolo.

Attenzione: nell’ultimo tratto dobbiamo considerare che il tempo della decelerazione parte da 130 s: è quanto ho indicato in rosso. Allora: quale sarà la formula che ci consente di calcolare la velocità? Attenti: nel primo tratto siamo partiti da una velocità nulla; qui, invece, partiamo da 30 m/s! E allora? Allora, ecco la formula:

v(t) = v(130) + a ∙ (t – 130)

Dove: v(t) è la velocità dopo 130 s; v(130) (uguale a 30 m/s) è la velocità che avevamo ai 130 s; a è l’accelerazione in questo tratto (negativa: – 1 m/s2); (t – 130) è il tempo oltre i 130 s. In effetti, la formula è la stessa del tratto 0-P1(l’accelerazione iniziale), che nella forma più generale si scrive v(t) = v(0) + a ∙ t, dove, per il tratto iniziale,  v(0) vale zero! 

 Calcoliamo alcuni valori di v:

v(130) = 30 m/s; v(131) = 30 – 1∙1= 129 m/s; v(135) = 30 – 1∙5 = 25 m/s; v(145) = 30 – 1∙15 = 15  m/s; v(160) = 30 – 1∙30 = 0  m/s. Quindi, a 160 s siamo fermi; giusto! Ecco spiegato il diagramma delle velocità!

Infine, calcoliamo lo spazio percorso. Allora, abbiamo detto che la velocità media è 

vm= s / t. Anche per lo spazio, possiamo dire che s = vm ∙ t; però, attenzione! C’è una grossa differenza rispetto al calcolo della velocità a partire dall’accelerazione! E qual è questa differenza? Bravi: il fatto che a era costante, mentre vm cambia di continuo! Come ce la caviamo?

Cominciamo dalla fase di accelerazione: la velocità aumenta costantemente, in proporzione al tempo. Per calcolare lo spazio percorso, armiamoci di pazienza. Supponiamo di dividere il tempo in intervalli di 5 s. 

Per ognuno degli intervalli calcoliamo la velocità media e disegniamo un trattino orizzontale che ne rappresenta il valore. 

Invece di una linea continua abbiamo una scalinata, formata da una serie di rettangolini accostati, che hanno per base l’intervallo di 5s e per altezza la velocità media dell’intervallo. 

Consideriamo il primo gradino: la sua velocità media (ripeto, del gradino), è la metà di quella raggiunta dopo 5 s; quindi: v = a ∙ t / 2= 0,5 ∙ 5 / 2 = 1,25 m/s. Durante questo tempo, quando spazio abbiamo percorso? Beh: s = vm∙ t= 1,25 ∙5 = 7,5 m.

E nel tratto tra 5 e 10 s, quanto è lo spazio percorso? Sono ancora 5 s, ma la velocità media è ora la media tra v(5) e v(10); quindi: vm= (2,5 + 5)/2 = 3,75 m/s. E lo spazio percorso? Vale 3,75 ∙ 5 = 18,75 m. 

Ora appare chiaro che lo spazio, per ogni gradino, è anche l’area del rettangolino compreso fra l’asse del tempo e il valore medio della velocità! Inoltre, capite bene che, continuando con questo sistema, alla fine la somma dell’area di tutti i rettangolini è lo spazio percorso, salvo qualche errore. Quindi, lo spazio totale così calcolato è, quasi, l’area del triangolo formato dall’asse del tempo e dal grafico della velocità! 

Riassumiamo: abbiamo diviso il nostro intervallo di tempo T= 60 s in N= 12 parti: chiamiamo Δt (si legge “delta ti”: il simbolo Δ è la lettera greca delta maiuscola, che ricorda la differenza tra due valori vicini) questo intervallo di tempo. Consideriamo poi il numero n del gradino: n varia da 1 a 12; la velocità media corrispondente, che possiamo calcolare, la chiamiamo v(n). Matematicamente, scriviamo:

La formula si legge: lo spazio s è quasi uguale (il simbolo ≈ ha questo significato) alla sommatoria, per tutti i valori di n compresi tra 1 e N(12), del prodotto della velocità media v(n) relativa all’elemento n, moltiplicata per Δt.

Dopo aver capito questo fatto, Newton ha fatto un’operazione analoga a quella fatta per le derivate; cioè, si è detto: ma se io aumento N all’infinito, cioè se faccio diventare piccolissimi gli intervalli di tempo Δt = T/n, cosa ottengo? Ottengo esattamente l’area del triangolo! Matematicamente, si scrive:

La seconda parte, che graficamente ricorda una esse allungata, dove s sta, appunto, per sommatoria, si legge: “integrale, per t che varia tra zero e t maiuscolo, di v di ti per de ti”.

Ripeto: passando al limite, la sommatoria diventa qualcosa di esatto: appunto, un integrale. E quale è il valore dell’integrale? Beh, siamo capaci di calcolare l’area di un triangolo!

La base del triangolo è T(60 s); la sua altezza è 30 m/s: l’area è 1/2∙60∙30 = 900 m! Guardate un poco il diagramma della prima parte dello spazio: corrisponde!

Due altre domande: e se volessimo conoscere lo spazio percorso al tempo t? Sarebbe sempre l’area del triangolo tra 0 e t; quindi:

s(t) = ½ ∙ v(t) ∙ t

Però, attenzione: v(t) dipende dalla accelerazione, e vale:

v(t) = a ∙ t

Quindi, in conclusione:

s(t) = ½ ∙ a ∙ t2

Ebbene, Newton già sapeva, da Galileo, che un corpo che cade, quindi con accelerazione costante, percorre uno spazio proporzionale al quadrato del tempo trascorso! Tombola!

Ora consideriamo il secondo tratto, quello a velocità costante: ecco il diagramma. Abbiamo appena calcolato che, dopo 60 s di accelerazione, in P1 abbiamo percorso 900 m; e poi? Dove siamo arrivati nel punto t?

Poiché dopo P1 andiamo alla velocità costante di 30 m/s: a partire da P1 lo spazio percorso è

s = v ∙ (t – 60)

 Ma in P1 abbiamo già percorso 900 m; quindi, tra P1P2 lo spazio è:

s(t) = 900 + 30 (t – 60)

In formule, se chiamiamo s1 lo spazio percorso in P1, v1 la velocità in P1t1 il tempo in P1, possiamo scrivere:

s(t) = s1 + v1∙ (t – t1)

E nell’ultimo tratto? Ultimo sforzo!

Cosa succede tra P2e F? Qual è la formula del movimento? Anche nell’ultimo tratto dobbiamo considerare lo spazio precedente e, se chiamiamo s2 lo spazio percorso in P2, v2 la velocità in P2t2 il tempo in P2, possiamo scrivere:

s(t) = s2 + v2∙ (t – t2) + ½ ∙ a ∙ (t – t2)2

Ecco fatto: questa è la formula del caso più generale, quando consideriamo un punto che ha percorso lo spazio s2 ed ha una velocità v2 dopo un tempo t2.

Spero che siate stanchi, ma soddisfatti. Mi avete seguito sino a capire i due mattoni fondamentali dell’analisi matematica: le derivate e gli integrali!!! Capirete anche che c’è tanto ancora da dire: però, per i nostri scopi di capire la fisica dei fenomeni e le leggi che le governano, ci fermiamo qui.  Ritornando alla fisica, riscriviamo il secondo principio della dinamica:

F = m ∙ a; da cui:

a = F / m; e quindi:

F / m = d2s/dt2 Ecco perché Newton ha dovuto creare l’analisi: per rispondere, appunto, alla domanda: come si passa dall’accelerazione alla velocità raggiunta ed allo spazio percorso?

Cosa combinò Newton

Premessa
Questo articolo mi fa tremare i polsi: ho la pretesa di riassumere in un breve articolo almeno un anno di matematica del liceo, ed il pensiero del grande Newton! Vediamo cosa riesco a fare.

Vi ho parlato di spazio, velocità, accelerazione: però, ho parlato solo di velocità ed accelerazione media. La vostra obiezione è: mentre accelero l’auto, il tachimetro mi indica ad ogni momento la velocità a cui sto andando. Alla fine dell’accelerazione, la velocità raggiunta non è la velocità media: cosa misura il tachimetro?

Per rispondervi, riprendiamo il diagramma dello spazio percorso. Sono evidenti tre tratti: da 0P1 l’auto accelera; da P1P2 procede a velocità costante; da P2F decelera. In ed in F l’auto è ferma. Attenzione; le coordinate sono tempo (in secondi) e spazio (in metri).

Consideriamo ora solo il tratto tra 0P1. Abbiamo detto che la velocità media è lo spazio percorso (nel diagramma, 900 m) diviso il tempo impiegato a percorrerlo (60 s).

Considerate la linea rossa che ho sovrapposto al diagramma: se fosse il diagramma del vostro spostamento, quale sarebbe la sua velocità media? Ovviamente, la stessa: qualunque sia il movimento tra 0P1, la velocità media non cambia! Questo perché nella media intervengono solo due valori, 0P1; quello che succede in mezzo non cambia la media.

Bene: ora, considerate i due tratti verdi: rappresentano il caso in cui siete andati a 225/30 = 7,5 m/s per 30 s, e poi a 675/30 = 22,5 m/s per gli altri 30 s. In ciascuno di questi tratti si parla sempre di velocità media, che dipende solo dagli estremi. Cosa succede se consideriamo tratti sempre più piccoli, cioè se consideriamo intervalli di tempo sempre più vicini? 

Per chiarezza, ho disegnato in arancione un tratto di 5 s e ne ho calcolato la velocità media. Possiamo ripetere l’operazione con intervalli di tempo sempre più piccoli. Succedono due cose:la linea spezzata corrisponde sempre di più alla linea blu continuala velocità  media calcolata in questi intervalli si avvicina sempre di più alla velocità istantanea indicata dal tachimetro!

Ecco il capolavoro di Newton: inventare una definizione esatta per la velocità istante per istante di un oggetto in movimento, che è la seguente:

La velocità istantanea di un corpo, in un punto P del suo movimento, è il limite del rapporto tra lo spazio percorso a partire da P ed il tempo impiegato a precorrerlo, quando il tempo diventa sempre più piccolo (in matematica, si dice che tende a zero): questo limite si chiama derivata della curva nel punto P. Matematicamente, seguendo la notazione di Leibnitz, si dice che:

dove dtindica un intervallo di tempo prossimo a zero, e dsè il corrispondente spazio percorso, a partire dal punto P in cui misuriamo la velocità. La formula si legge: la velocità vè il limite del rapporto dsdiviso dt, quando dttende a zero.

Siete riusciti a seguirmi? Bravissimi! Siete più bravi voi di me, che vi spiego!

Facciamo un altro passo.

Se applichiamo la definizione al tratto rosso rettilineo, cosa troveremo? Troveremo che la velocità è costante su tutto il tratto! Infatti, nel disegno, i rapporti b/a e d/c, che esprimono la velocità, sono uguali perché appartengono a triangoli simili

Inoltre, poiché b/a = d/c è la pendenza della retta, possiamo dire che la velocità in P è la pendenza della retta. 

E per il tratto curvilineo? Nel disegno a fianco è evidente che, nella curva, il rapporto a/b è diverso dal rapporto c/d: quindi, per conoscere la velocità nel punto P, occorre considerare il limite di questo rapporto.

Man mano che il segmento PP1 diventa più corto, avvicinando P1 a P, la retta diventa la tangente alla curva nel punto P. Quindi, si può concludere che la velocità istantanea in P è la pendenza della tangente alla curva, nel punto P scelto.

Ebbene, se tracciamo il diagramma della velocità dell’auto, cioè delle pendenze della curva spazio – tempo, scopriamo che la velocità istantanea, nel nostro caso, è aumentata in proporzione al tempo; ha raggiunto il suo valore massimo, e poi è diminuita, sempre in proporzione del tempo, sino a zero. Ripeto: questo diagramma è giusto solo perché la nostra automobile ha accelerato e decelerato costantemente: con accelerazioni diverse, i diagrammi della velocità (e dello spazio) rispetto al tempo sarebbero diversi.

Ora dobbiamo chiederci: e quale sarà il diagramma dell’accelerazione nel tempo?

Poiché sappiamo che l’accelerazione media è la variazione della velocità nel tempo considerato, possiamo concludere che l’accelerazione, istante per istante, è la derivata della velocità:

Poiché la derivata di una retta è un valore costante, il diagramma dell’accelerazione è quello della figura. Il tratto 0-P1ha accelerazione costante (0,5 m/s2); il tratto P1-P2ha accelerazione nulla (non cambia la velocità); Il tratto P2-F ha anch’esso accelerazione costante (-1 m/s2).

Ma poiché abbiamo visto che

ne consegue che l’accelerazione, rispetto allo spazio, è la derivata della derivata dello spazio rispetto al tempo! Matematicamente, la formula diventa:

E si legge: “l’accelerazione a è la derivata seconda dello spazio rispetto al tempo”.

Chiaro? Bello? Speravo di dirvi tutto in questo articolo, ma è proprio impossibile. Voi direte: cosa c’è d’altro? C’è che devo rispondere all’altra domanda: abbiamo visto come si passa dal diagramma spaziale a quello della velocità ed a quello dell’accelerazione; come si passa, viceversa, dall’accelerazione alla velocità ed allo spazio percorso? È ciò che vi spiegherò nel prossimo articolo. Forza e coraggio!

Se tu spingi me, io spingo te

Il terzo esperimento di dinamica è ancora un esperimento mentale; però, per coglierlo, occorre avere la mente aperta alla fisica.

Ad esempio, siete seduti? E quanto pesate? E la vostra forza peso sta agendo? E poiché agisce, perché non cadete per terra?

Vi ricordo il secondo principio della dinamica: se c’è una forza che agisce, si sviluppa una accelerazione. Conclusione: non cadete perché non c’è nessuna forza! Ma come, non c’è nessuna forza: voi avvertite bene il vostro peso! Ebbene, poiché non c’è nessun movimento, ci deve essere una forza che annulla la vostra forza peso!

Isaac Newton 1689 Sir Godfrey Kneller
Isaac Newton (1689)
Sir Godfrey Kneller

Ed ecco il nostro Newton che, sempre nel laboratorio del suo grande cervello, pensa a questo fatto, e conclude: siccome nulla si muove, malgrado io stia spingendo, l’oggetto su cui spingo deve sviluppare una forza, chiamata reazione, di valore uguale e direzione contraria a quella che sto applicando.

Sempre nei Principia, Newton scrive:

Actioni contrariam semper & æqualem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse æquales &in partes contrarias dirigi.

Oggi siamo più sintetici:

Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria.

Altra situazione: auto in panne; dovete spingerla. Eccovi al lavoro. Cosa succede della forza con cui spingete?

Mentre spingete l’auto, lei reagisce con la stessa forza; altrimenti, l’auto scapperebbe via, e voi cadreste a faccia in giù.

Il secondo principio della dinamica

Continuiamo a far lavorare il nostro cervello, e facciamo un altro esperimento ideale. Abbiamo in mano una sfera di una certa massa. Lanciamo la sfera: cosa succede? Succede che, mentre abbiamo la sfera in mano, la acceleriamo (cioè, la mettiamo in movimento): quando la lasciamo, si allontana da noi con una certa velocità.

Analizziamo in dettaglio le fasi dell’esperimento: stiamo applicando una forza ad un oggetto di una certa massa. La nostra azione perdura sino a quando abbiamo l’oggetto in mano: quando lo lasciamo, il primo principio della dinamica ci dice che si allontana a velocità costante (nel nostro cervello, siamo nel vuoto, lontano dalla Terra).

Durante il lancio, la sfera, che era ferma, acquista velocità. Quindi, la forza che noi applichiamo al corpo serve per accelerarlo; quando smettiamo di ruotare il braccio, il corpo ha acquistato una velocità che dipende dalla accelerazione e dalla durata di applicazione della forza.

Domanda: e se cambiamo la massa dell’oggetto? L’intuito ci dice che, a pari forza, l’accelerazione è inversamente proporzionalealla massa; cioè, a una massa minore corrisponde una accelerazione maggiore.

Altra domanda: e se cambiamo la forza con cui lanciamo l’oggetto? Sempre l’intuito ci dice che l’accelerazione è direttamente proporzionale alla forza applicata: a forza maggiore corrisponde accelerazione maggiore.

Isaac Newton 1689 Sir Godfrey Kneller
Isaac Newton (1689)
Sir Godfrey Kneller

Questi, all’incirca, dovevano essere i pensieri di Newton, quando si dedicava allo studio del movimento accelerato. Un aiuto a questi studi gli veniva da Galileo, che aveva osservato la caduta di un corpo lungo un piano inclinato (orologio: il battito del suo cuore!), e scoperto che lo spazio percorso è proporzionale al quadrato del tempo trascorso.

La conclusione dei suoi studi, sempre pubblicata nel suo capolavoro “De philosophiae naturalis principia mathematica”, è stato il secondo principio della dinamica. Ecco la formulazione originale:

Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.

Capito tutto? Oggi formuliamo così la stessa legge:

Il cambiamento di moto è proporzionale alla forza motrice risultante applicata, ed avviene lungo la linea retta secondo la quale la forza stessa è stata esercitata.

Avete capito? Si parla di “risultante” perché le forze applicate possono essere più di una (legge del parallelogrammo!), e di cambiamento di moto; quindi, la legge si applica sia ad un oggetto in quiete che in moto rettilineo uniforme.

Ho promesso di parlare di fisica senza usare la matematica, tranne poche eccezioni. Questa è una di quelle: il secondo principio si scrive come segue.

F = m∙a;

(si legge emme per a) oppure

a = F / m

Dove F è la forza applicata; m è la massa del corpo accelerato; a è l’accelerazione che si sviluppa in seguito all’applicazione della forza F. Ma è semplicissima! Ci conferma quanto avevamo pensato: a pari m, con F maggiore a è maggiore. A pari F, con m maggiore a è minore.

Ritratto di Galileo Galilei (1636) Justus Sustermans
Ritratto di Galileo Galilei (1636)
Justus Sustermans

Voi direte: ma come posso calcolare la velocità raggiunta dal corpo, e lo spazio percorso durante l’accelerazione? Ripeto: Galileo aveva già dato una risposta alla seconda domanda; però, Newton aveva bisogno di formule che collegassero la velocità e lo spazio percorso al tempo di durata del fenomeno e all’accelerazione applicata. Quindi, per procedere, Newton è stato costretto a creare la matematica che gli serviva: nientemeno che l’analisi matematica! Ne riparleremo nel prossimo articolo; ora, finalmente, parliamo della forza, e della sua unità di misura.

Nella formula F = m∙a, conosciamo l’unità di misura della massa, il chilogrammo, e quella dell’accelerazione, m/s2: allora, qual è l’unità di misura della forza, nel SI?

È una unità composta: kg∙m/s2. Quindi, in nessun laboratorio di fisica troverete mai la forza campione!

In fisica, l’unità di forza si chiama, appunto, Newton; il simbolo è N. Per definizione, il Newton è la forza che, applicata ad una massa di 1 kg, la accelera di 1 m/s2: ripeto, è una unità composta.

Però, voi direte: normalmente, io misuro la forza in chilogrammi. Abbiamo imparato che il chilogrammo è, in effetti, l’unità di misura della massa del corpo; allora, il chilogrammo che usiamo per misurare la forza, che cosa è?

Per rispondere, consideriamo che, in natura, ci sono diversi tipi di forze: quella di una molla, che può tirare o spingere; quella di un magnete su un pezzo di ferro; quella elettrica, per cui con della plastica strofinata si attraggono dei pezzetti di carta. Ma c’è una forza che, sulla Terra, ci attira sempre verso il basso: la forza di gravità!

Ma che caratteristica ha questa forza di gravità? Domanda cruciale: dipende dalla massa del corpo, oppure da qualcosa di diverso? Il secondo principio ci dice che il rapporto tra forza e massa è l’accelerazione del corpo libero di muoversi; quindi, se la forza di gravità dipendesse dalla massa, tutti i corpi liberi di cadere lo farebbero con la stessa accelerazione.

Attenzione, ripeto: la massa del secondo principio e la massa dei gravi potrebbero essere due entità fisiche totalmente diverse! Poiché vi ho detto potrebbero, ciò significa che non lo sono. Ecco un fatto che ha spinto Einstein a formulare le leggi della gravità generale: ne riparleremo a suo tempo…

A questo punto, voi direte: ma l’accelerazione di gravità dipende dalla massa: un mattone cade più rapidamente di una piuma! Avete ragione; però, ritorniamo nel nostro laboratorio, il nostro cervello, e pensiamoci un poco…

Ritorniamo al nostro amico Galileo: sempre nel suo cervello, ha pensato (si favoleggia che lo abbia fatto davvero): metto una piuma sopra ad un mattone, e poi li faccio cadere assieme: cosa succede? Se Aristotele avesse ragione, la piuma dovrebbe rimanere indietro rispetto al mattone! Invece cadono assieme: perché? Se mattone e piuma venissero fatti cadere separatamente, la piuma cadrebbe più lentamente, perché è frenata dalla resistenza dell’aria. Invece, nell’esperimento pensato, il mattone fende l’aria, così che mattone e piuma cadono assieme!

Inoltre, Galileo ha pensato: prendo un mattone, lo faccio cadere: impiega un certo tempo. Ora spezzo il mattone in due: poiché i due pezzi pesano metà del mattone originario, seguendo Aristotele dovrebbero impiegare ciascuno il doppio del tempo! E se lego assieme i due pezzi? È evidente che quanto dice Aristotele è falso: gli oggetti devono cadere nello stesso tempo.

La cosa si verifica immediatamente facendo cadere oggetti diversi in un tubo a cui si sia tolto l’aria: cadono assieme! Ma questo, Galileo non poteva saperlo.

Conclusione? Tutti i corpi, a livello del mare (vedremo presto perché questa precisazione) cadono nel vuoto con la stessa accelerazione, indicata con g, e chiamata accelerazione di gravità. Il suo valore è (arrotondando) 9,81 m/s2 (che bella fortuna: quasi 10!).Ora, domanda conclusiva: con che forza di gravità viene attratto un corpo di massa 1 kg? Risposta: 9,81 N; nella pratica ingegneristica (ripeto, non è una unità SI) con la forza di 1 kg (ricordate? Per non confondersi, sarebbe meglio scrivere kgf, ma nella pratica quotidiana è inutile!). Quindi, per conoscere il nostro peso in Newton, basta moltiplicare per (quasi) 10 il nostro peso in chilogrammi. In conclusione, usiamo tranquillamente il kg come misura della forza: dato il contesto, non ci si sbaglia.

Si parte con la dinamica

La dinamica è la parte della fisica che spiega il comportamento di un corpo in movimento. Ci sono corpi in movimento dappertutto: pedoni, auto, treni… A quali leggi obbediscono questi movimenti?

Cominciamo con la cosa più semplice: siamo su un treno, che si muove di moto rettilineo uniforme: è notte, non si vede nulla. Come facciamo a sapere che ci stiamo muovendo?

Per fortuna, noi siamo dotati di un potentissimo laboratorio di fisica: il nostro cervello! Ecco il posto dove realizzare degli esperimenti mentali, che non possiamo eseguire nella realtà.

Galileo Galilei, nel suo “Dialogo sui massimi sistemi” del 1632, scrive:

Rinserratevi con qualche amico nella maggiore stanza che sia sotto coverta di alcun gran navilio, e quivi fate d’aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti: siavi anco un gran vaso d’acqua, e dentrovi de’ pescetti; sospendasi anco in alto qualche secchiello, che a goccia a goccia vada versando dell’acqua in un altro vaso di angusta bocca che sia posto a basso; e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza.
[…]
Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose, benché niun dubbio ci sia mentre il vascello sta fermo non debbano succedere così: fate muovere la nave con quanta si voglia velocità; ché (pur di moto uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti; né da alcuno di quelli potrete comprendere se la nave cammina, o pure sta ferma.

Al tempo di Galileo, l’unico mezzo che potesse muoversi abbastanza velocemente, senza oscillare, era appunto una nave. Ed ecco la prima, grande scoperta: all’interno della nave, non abbiamo nessun mezzo per capire se la nave è ferma o se si muove!

Ritratto di Galileo Galilei (1636)
Justus Sustermans

Notate che non solo non esiste nessun esperimento meccanico che ci dica che ci muoviamo di moto rettilineo uniforme. Tutti gli esperimenti condotti in seguito, con altri mezzi: ottici, chimici, elettrici eccetera hanno confermato questo fatto, foriero di future scoperte: vedremo… Per intanto, abbiamo scoperto una legge fondamentale.

Ora, torniamo sul nostro treno: se spegniamo i motori e li mettiamo “in folle”, cosa succede? Beh, la risposta è semplice: prima o poi il treno si ferma, a causa dell’attrito delle rotaie e della resistenza dell’aria. 

Cosa diceva Aristotele a proposito di un corpo in movimento rettilineo uniforme? Diceva che occorre una forza perché continui a muoversi. Giusto? Nel mondo reale si: c’è sempre qualcosa che si oppone al movimento: se non spingete, ci si ferma! 

Allora, pensiamo: se, invece di viaggiare sulle rotaie, il treno fosse del tipo a levitazione magnetica, senza contatto con le rotaie? Ebbene, l’attrito delle rotaie si annullerebbe, ma rimarrebbe sempre la resistenza dell’aria. E se non ci fosse aria intorno? 

OK, siamo nel nostro cervello, e immaginiamo la situazione: niente attrito, niente aria… Cosa succede? Succede che, poiché non c’è nessuna forza che si opponga al movimento, il treno procede per sempre! Oggi possiamo immaginarci più facilmente la situazione visualizzando un oggetto nello spazio.

Questa legge si chiama “Primo principio della dinamica”, o “Principio d’inerzia”. La sua formulazione è dovuta ad Isaac Newton, che nel 1686 ha pubblicato, in latino, il suo capolavoro De philosophiae naturalis principia mathematica. Ecco la formulazione originale:

Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare”

Capito tutto? Ecco la legge, in italiano:

Isaac Newton 1689 Sir Godfrey Kneller
Isaac Newton
1689
Sir Godfrey Kneller

Tutti i corpi permangono nello stato di quiete o di moto rettilineo uniforme, a meno che una forza modifichi il loro stato.

Ed ecco che si parla di forza! Ecco perché ho rinviato la discussione sulla forza: perché la forza è la causa del cambiamento di stato di un corpo, originariamente in quiete o in moto rettilineo uniforme; quindi, per definirla, occorre parlare della dinamica dei corpi. Affronteremo la questione nella prossima lezione.

Forse pensate: un articolo per una cosa così semplice come il principio d’inerzia? Fate presto a dirlo, dopo aver visto astronauti fluttuare nello spazio; pensate a Newton, che non ha mai visto nulla di simile! Il suo laboratorio, appunto, è stato il suo cervello.