Disegno dell’orbita dei pianeti

Partendo dalle equazioni di Newton, vogliamo disegnare l’orbita della Terra attorno al Sole. Gli assi coordinati x e y hanno l’origine nel Sole. In questo lavoro apportiamo una semplificazione: supponiamo che il sole stia fermo mentre la Terra gli gira attorno. La realtà è che anche il Sole si muove sotto l’attrazione della Terra: in effetti, si muovono entrambi, Terra e Sole, attorno al centro di massa del sistema Terra-Sole.

Cos’è e dove si trova questo centro di massa? In sintesi, il centro di massa è il fulcro, virtuale, di una leva che ha Terra e Sole ai suoi estremi. Date le masse di terra e Sole e la loro distanza, si trova che il centro di massa del sistema dista circa 5∙105 m dal centro del Sole. Tanto? Attenti: sono 500 km, mentre il Sole ha un raggio di 700.000 km! Ecco perché la nostra approssimazione è valida.

Noi ci proponiamo di disegnare la forma dell’orbita della Terra usando il calcolo numerico, cioè approssimando le equazioni esatte. Prima di tutto, dobbiamo definire il sistema di coordinate rispetto al quale calcolare il movimento: la cosa più semplice è mettere gli assi coordinati sul piano dell’eclittica; ecco il disegno della Terra e del Sole ad un certo istante. La Terra è sottoposta all’attrazione gravitazionale del Sole e si sta muovendo sulla sua orbita con velocità v.

Ora il nostro compito è quello di riscrivere la seconda equazione della dinamica e la legge di gravitazione universale in modo tale da ottenere le equazioni che ci servono per disegnare l’orbita terrestre. La forza di attrazione del Sole sulla Terra si scompone in due componenti, entrambe negative, perché in direzione opposta rispetto a quella degli assi:        

F = forza Terra – Sole;

Fx, Fy = componenti della forza;

x,y = coordinate della Terra;

r = distanza Terra – Sole.                                    

Dalla similitudine tra i triangoli F, Fx, Fy e r, x, y otteniamo:                                                

Fx/F = – x/r; Fy/F = – y/r; ergo:

Fx = -x∙F/r = -G∙M∙m∙x/r3

Fy = -y∙F/r = -G∙M∙m∙y/r3

Dalla legge di gravitazione universale e dalla seconda legge della dinamica abbiamo:

d2s/dt2 = -G∙M/r2

Quindi le componenti dell’accelerazione sono:

d2x/dt2 = ax = -G∙M∙x/r3

d2y/dt2 = ay = -G∙M∙y/r3

Poiché d2s/dt2 = dv/dt, scriviamo le tre leggi che ci consentono di disegnare l’ellisse:

dvx/dt = -GMx/r3

dvy/dt = -GMy/r3

r = √(x2 + y2)

Come dicevo, questo sistema di equazioni è risolubile in forma esatta; però, adottiamo invece un approccio numerico che non richiede la conoscenza delle equazioni differenziali. Come sapete, l’operazione dx/dt richiede di passare al limite del rapporto; noi, invece di arrivare al limite, scegliamo un Δt convenientemente piccolo, così da non sbagliare troppo nel disegno dell’ellisse, e calcoliamo dalla formula il valore di x corrispondente. Iterando i calcoli un numero sufficiente di volte arriviamo a disegnare l’ellisse completa. Tutto ciò si può fare in modo abbastanza semplice usando EXCEL od un simile programma spreadsheet.

Ho tratto quanto segue dal libro di fisica di Feynman: scusate se è poco!

Ribadiamo il concetto di ciò che stiamo per fare. Per semplificare, iniziamo i calcoli all’istante t = 0, quando la Terra si trova su un punto dell’asse x; inoltre prendiamo, per ora, dei valori arbitrari, che non modificano la forma dell’orbita terrestre. Quindi, partiamo da x(0) = 0,5; y(0) = 0: conosciamo i valori di vx e vy?

Come si vede dal disegno, vx(0) = 0; per vy diamo il valore vy(0) = 1,57. Cos’è quello strano valore per vy? Niente paura: è π/2: ci semplifica il disegno. Infine, prendiamo Δt = 0,1 (con EXCEL è facilissimo cambiare i parametri!).

Bene: tutto ciò che dobbiamo fare è calcolare i valori di x e y dopo un tempo pari a Δt, 2Δt, 3Δt… sino a quando abbiamo disegnato tutta l’ellisse. E come si procede?

Anzitutto, sempre per semplificare, poniamo G∙M = 1 (è solo una costante moltiplicativa): le formule diventano:

Δvx/Δt = -x/r3 = ax

Δvy/Δt = -y/r3 = ay

r = √(x2 + y2)

Da cui otteniamo:

Δvx = Δt∙ax;

Questa formula si riferisce alla variazione di velocità. Quando è passato il tempo N∙Δt dall’inizio, la Terra avrà acquistato la velocità vx(N); quindi, all’istante (N+1)∙Δt, la velocità vx(N+1) sarà uguale alla velocità precedente vx(N) più la variazione di velocità Δvx; quindi:

vx(N+1) = vx(N) + Δt∙ax

Analogamente, vy(N+1) = vy(N) + Δt∙ay

Quindi, una volta noti vx(0), vy(0), ax(0), ay(0), possiamo calcolare i vx e vy successivi. Infine, le nuove posizioni della terra sono:

x(N+1) = x(N) + Δt∙vx

y(N+1) = y(N) + Δt∙vy

Vedete? Conosciamo x(0), y(0), vx(0) e vy(0): completiamo i dati iniziali calcolando r(0), ax(0), ay(0), usando le formule qui sopra. Otteniamo:

r(0) = 0,5; ax(0) = -4; ay(0) = 0                                                               

Spero che sia tutto chiaro!                                                          

Bene: ora facciamo ciò che è facile con EXCEL: costruiamo una tabella con i valori di: x, y, r, ax, ay, vx, vy e poi incrementiamo Δt.            Ecco l’intestazione della tabella, i valori iniziali ed i valori calcolati per il primo passo.

NxyraxayvxvyΔt
00,500,5-4001,570,1
10,50,1570,524-3,473-1,090-0,3471,460 

Nella tabella trovate anche Δt perché, a questo modo, posso verificare l’esito dei calcoli con valori diversi: più Δt è piccolo, più preciso è il disegno.

Quante volte devo riciclare i calcoli? Semplice: guardate i valori di x; li vedrete diminuire e poi aumentare. Quando i valori ritornano a 0,5 avete disegnato una ellisse completa.

Se usate EXCEL, per avere il diagramma dell’elaborazione selezionate le colonne x e y, e la funzione Inserisci Grafici x,y: ecco il risultato!

Ecco l’ellisse, come promesso! Però, come vedete, l’ellisse è un poco grossolana: proviamo a usare Δt = 0,04; ecco il risultato.

Ottimo! Con Δt più piccoli aumenta la precisione del disegno (ed il numero di passi necessari); e con Δt maggiore? Ad esempio, con Δt = 0,2?

Come vedete, l’ellisse non si richiude su sé stessa: l’errore cumulativo è troppo grande.

Ma voi dite: vorremmo disegnare la traiettoria reale della Terra! Rispondo: non è difficile; è sufficiente usare le stesse formule, ed i parametri reali, che riassumo.

MASSA
TERRA
MASSA
SOLE
DISTANZA
T – S
VELOCITA
TERRA
COSTANTE
G
ANNOCOST
G*Ms
kgkgmm/sm3kg-1s-2sm3s-2
5,97E+242,00E+301,50E+113,00E+046,67E-113,16E+071,33E+20

Attenti: sono parametri che trovate facilmente, tranne, forse, la velocità della Terra. Assimilando l’ellisse ad un cerchio, la Terra compie la circonferenza in un anno: da qui ricavate la sua velocità.

E per quanto riguarda Δt? Considerate che la Terra impiega un anno per compiere il giro attorno al Sole: sono 365 giorni. Poiché un giorno dura 86400 s, se prendete dei multipli del giorno sapete anche quanti passi calcolare per disegnare l’ellisse. Ad esempio, usando Δt = 432.000 s, cioè 5 giorni, occorrono 365/5 = 73 passi.

Ecco l’inizio della tabella di calcolo, con i valori iniziali e la prima riga calcolata.

NxyraxayvxvyΔt
01,50E+1101,50E+11-5,93E-030,00E+0003,00E+04432000
11,50E+111,30E+101,5056E+11-5,86E-03-5,07E-04-2,53E+032,98E+04 

Ed ecco l’ellisse reale.

Mi fermo qui, ma, se volete, potete aggiungere un altro pianeta, e calcolare le due orbite: in questo caso, ci sono più forze in gioco. Supponiamo di voler aggiungere anche Giove: sulla Terra agiranno l’attrazione del Sole e quella di Giove; su Giove, l’attrazione del Sole e quella della Terra. Buon divertimento a chi si cimenta! Attenti, però: il metodo che abbiamo seguito è l’unico che possiamo utilizzare per calcolare le orbite dei pianeti con più di un pianeta che orbita attorno al Sole: con più di un pianeta, le equazioni di Newton non sono risolubili in forma esatta!

Newton ha combinato anche questa

Nell’articolo precedente vi ho lasciato con la domanda: dato il diagramma dell’accelerazione, come posso ricostruire il diagramma della velocità e dello spazio percorso?

Notate bene che noi conosciamo già il risultato: sono i nostri diagrammi di partenza! Però, dobbiamo ricostruirli; come fare?

Partiamo dal diagramma della accelerazione: si tratta di ricostruire anzitutto il diagramma della velocità. Come ragioniamo? Come ragionò Newton?

Noi, che ormai sappiamo tutto delle derivate, capiamo che qui si tratta di fare una operazione opposta: quale? Come?

Guardiamo il diagramma: è diviso in tre parti. Nella prima, da 0P1, abbiamo accelerato a 0,5 m/s2per 60 s; nella seconda, da P1P2, l’accelerazione è stata nulla; nella terza, da P2F, l’accelerazione è stata – 1 m/s2. A questo punto, l’unica cosa certa è che tra P1P2 la velocità non è cambiata, perché l’accelerazione è zero: questo significa che l’auto ha raggiunto una certa velocità in P1 e ha continuato con quella velocità sino a P2. OK, ma quale velocità ha raggiunto? Usiamo il nostro laboratorio mentale: ragioniamo. A questo scopo, consideriamo solo il tratto tra 0P1.

Noi abbiamo definito l’accelerazione media come il rapporto tra la velocità raggiunta ed il tempo necessario per raggiungerla:

am= v / t

Ma allora, è anche vero che:

v = am∙t

Poiché la nostra accelerazione è costante, e pari a 0,5 m/s2, questo significa che la formula qui sopra ci consente di calcolare la velocità v, che cambia di continuo al variare di t. Per sottolineare questa variazione continua, scrivo v(t) (si legge vu di t; significa che v dipende da t) invece di v:

v(t) = am∙t

Se guardiamo il diagramma, questo prodotto è semplicemente l’area del rettangolo compreso tra t! Quindi, abbiamo, ad esempio:

v(0) = 0,5 ∙ 0 = 0 ; v(1) = 0,5 ∙ 1 = 0,5 m/s ; v(10) = 0,5 ∙ 10 = 5 m/s ; v(30) = 0,5 ∙ 30 = 15 m/s ; v(60) = 0,5 ∙ 60 = 30 m/s.

Quindi, alla fine dell’accelerazione, siamo arrivati a 30 m/s: corrisponde a quanto sapevamo! Continuando sul nostro diagramma, nel tratto da P1 P2 manteniamo la velocità di 30 m/s; e nell’ultimo tratto? Eccolo.

Attenzione: nell’ultimo tratto dobbiamo considerare che il tempo della decelerazione parte da 130 s: è quanto ho indicato in rosso. Allora: quale sarà la formula che ci consente di calcolare la velocità? Attenti: nel primo tratto siamo partiti da una velocità nulla; qui, invece, partiamo da 30 m/s! E allora? Allora, ecco la formula:

v(t) = v(130) + a ∙ (t – 130)

Dove: v(t) è la velocità dopo 130 s; v(130) (uguale a 30 m/s) è la velocità che avevamo ai 130 s; a è l’accelerazione in questo tratto (negativa: – 1 m/s2); (t – 130) è il tempo oltre i 130 s. In effetti, la formula è la stessa del tratto 0-P1(l’accelerazione iniziale), che nella forma più generale si scrive v(t) = v(0) + a ∙ t, dove, per il tratto iniziale,  v(0) vale zero! 

 Calcoliamo alcuni valori di v:

v(130) = 30 m/s; v(131) = 30 – 1∙1= 129 m/s; v(135) = 30 – 1∙5 = 25 m/s; v(145) = 30 – 1∙15 = 15  m/s; v(160) = 30 – 1∙30 = 0  m/s. Quindi, a 160 s siamo fermi; giusto! Ecco spiegato il diagramma delle velocità!

Infine, calcoliamo lo spazio percorso. Allora, abbiamo detto che la velocità media è 

vm= s / t. Anche per lo spazio, possiamo dire che s = vm ∙ t; però, attenzione! C’è una grossa differenza rispetto al calcolo della velocità a partire dall’accelerazione! E qual è questa differenza? Bravi: il fatto che a era costante, mentre vm cambia di continuo! Come ce la caviamo?

Cominciamo dalla fase di accelerazione: la velocità aumenta costantemente, in proporzione al tempo. Per calcolare lo spazio percorso, armiamoci di pazienza. Supponiamo di dividere il tempo in intervalli di 5 s. 

Per ognuno degli intervalli calcoliamo la velocità media e disegniamo un trattino orizzontale che ne rappresenta il valore. 

Invece di una linea continua abbiamo una scalinata, formata da una serie di rettangolini accostati, che hanno per base l’intervallo di 5s e per altezza la velocità media dell’intervallo. 

Consideriamo il primo gradino: la sua velocità media (ripeto, del gradino), è la metà di quella raggiunta dopo 5 s; quindi: v = a ∙ t / 2= 0,5 ∙ 5 / 2 = 1,25 m/s. Durante questo tempo, quando spazio abbiamo percorso? Beh: s = vm∙ t= 1,25 ∙5 = 7,5 m.

E nel tratto tra 5 e 10 s, quanto è lo spazio percorso? Sono ancora 5 s, ma la velocità media è ora la media tra v(5) e v(10); quindi: vm= (2,5 + 5)/2 = 3,75 m/s. E lo spazio percorso? Vale 3,75 ∙ 5 = 18,75 m. 

Ora appare chiaro che lo spazio, per ogni gradino, è anche l’area del rettangolino compreso fra l’asse del tempo e il valore medio della velocità! Inoltre, capite bene che, continuando con questo sistema, alla fine la somma dell’area di tutti i rettangolini è lo spazio percorso, salvo qualche errore. Quindi, lo spazio totale così calcolato è, quasi, l’area del triangolo formato dall’asse del tempo e dal grafico della velocità! 

Riassumiamo: abbiamo diviso il nostro intervallo di tempo T= 60 s in N= 12 parti: chiamiamo Δt (si legge “delta ti”: il simbolo Δ è la lettera greca delta maiuscola, che ricorda la differenza tra due valori vicini) questo intervallo di tempo. Consideriamo poi il numero n del gradino: n varia da 1 a 12; la velocità media corrispondente, che possiamo calcolare, la chiamiamo v(n). Matematicamente, scriviamo:

La formula si legge: lo spazio s è quasi uguale (il simbolo ≈ ha questo significato) alla sommatoria, per tutti i valori di n compresi tra 1 e N(12), del prodotto della velocità media v(n) relativa all’elemento n, moltiplicata per Δt.

Dopo aver capito questo fatto, Newton ha fatto un’operazione analoga a quella fatta per le derivate; cioè, si è detto: ma se io aumento N all’infinito, cioè se faccio diventare piccolissimi gli intervalli di tempo Δt = T/n, cosa ottengo? Ottengo esattamente l’area del triangolo! Matematicamente, si scrive:

La seconda parte, che graficamente ricorda una esse allungata, dove s sta, appunto, per sommatoria, si legge: “integrale, per t che varia tra zero e t maiuscolo, di v di ti per de ti”.

Ripeto: passando al limite, la sommatoria diventa qualcosa di esatto: appunto, un integrale. E quale è il valore dell’integrale? Beh, siamo capaci di calcolare l’area di un triangolo!

La base del triangolo è T(60 s); la sua altezza è 30 m/s: l’area è 1/2∙60∙30 = 900 m! Guardate un poco il diagramma della prima parte dello spazio: corrisponde!

Due altre domande: e se volessimo conoscere lo spazio percorso al tempo t? Sarebbe sempre l’area del triangolo tra 0 e t; quindi:

s(t) = ½ ∙ v(t) ∙ t

Però, attenzione: v(t) dipende dalla accelerazione, e vale:

v(t) = a ∙ t

Quindi, in conclusione:

s(t) = ½ ∙ a ∙ t2

Ebbene, Newton già sapeva, da Galileo, che un corpo che cade, quindi con accelerazione costante, percorre uno spazio proporzionale al quadrato del tempo trascorso! Tombola!

Ora consideriamo il secondo tratto, quello a velocità costante: ecco il diagramma. Abbiamo appena calcolato che, dopo 60 s di accelerazione, in P1 abbiamo percorso 900 m; e poi? Dove siamo arrivati nel punto t?

Poiché dopo P1 andiamo alla velocità costante di 30 m/s: a partire da P1 lo spazio percorso è

s = v ∙ (t – 60)

 Ma in P1 abbiamo già percorso 900 m; quindi, tra P1P2 lo spazio è:

s(t) = 900 + 30 (t – 60)

In formule, se chiamiamo s1 lo spazio percorso in P1, v1 la velocità in P1t1 il tempo in P1, possiamo scrivere:

s(t) = s1 + v1∙ (t – t1)

E nell’ultimo tratto? Ultimo sforzo!

Cosa succede tra P2e F? Qual è la formula del movimento? Anche nell’ultimo tratto dobbiamo considerare lo spazio precedente e, se chiamiamo s2 lo spazio percorso in P2, v2 la velocità in P2t2 il tempo in P2, possiamo scrivere:

s(t) = s2 + v2∙ (t – t2) + ½ ∙ a ∙ (t – t2)2

Ecco fatto: questa è la formula del caso più generale, quando consideriamo un punto che ha percorso lo spazio s2 ed ha una velocità v2 dopo un tempo t2.

Spero che siate stanchi, ma soddisfatti. Mi avete seguito sino a capire i due mattoni fondamentali dell’analisi matematica: le derivate e gli integrali!!! Capirete anche che c’è tanto ancora da dire: però, per i nostri scopi di capire la fisica dei fenomeni e le leggi che le governano, ci fermiamo qui.  Ritornando alla fisica, riscriviamo il secondo principio della dinamica:

F = m ∙ a; da cui:

a = F / m; e quindi:

F / m = d2s/dt2 Ecco perché Newton ha dovuto creare l’analisi: per rispondere, appunto, alla domanda: come si passa dall’accelerazione alla velocità raggiunta ed allo spazio percorso?

Cosa combinò Newton

Premessa
Questo articolo mi fa tremare i polsi: ho la pretesa di riassumere in un breve articolo almeno un anno di matematica del liceo, ed il pensiero del grande Newton! Vediamo cosa riesco a fare.

Vi ho parlato di spazio, velocità, accelerazione: però, ho parlato solo di velocità ed accelerazione media. La vostra obiezione è: mentre accelero l’auto, il tachimetro mi indica ad ogni momento la velocità a cui sto andando. Alla fine dell’accelerazione, la velocità raggiunta non è la velocità media: cosa misura il tachimetro?

Per rispondervi, riprendiamo il diagramma dello spazio percorso. Sono evidenti tre tratti: da 0P1 l’auto accelera; da P1P2 procede a velocità costante; da P2F decelera. In ed in F l’auto è ferma. Attenzione; le coordinate sono tempo (in secondi) e spazio (in metri).

Consideriamo ora solo il tratto tra 0P1. Abbiamo detto che la velocità media è lo spazio percorso (nel diagramma, 900 m) diviso il tempo impiegato a percorrerlo (60 s).

Considerate la linea rossa che ho sovrapposto al diagramma: se fosse il diagramma del vostro spostamento, quale sarebbe la sua velocità media? Ovviamente, la stessa: qualunque sia il movimento tra 0P1, la velocità media non cambia! Questo perché nella media intervengono solo due valori, 0P1; quello che succede in mezzo non cambia la media.

Bene: ora, considerate i due tratti verdi: rappresentano il caso in cui siete andati a 225/30 = 7,5 m/s per 30 s, e poi a 675/30 = 22,5 m/s per gli altri 30 s. In ciascuno di questi tratti si parla sempre di velocità media, che dipende solo dagli estremi. Cosa succede se consideriamo tratti sempre più piccoli, cioè se consideriamo intervalli di tempo sempre più vicini? 

Per chiarezza, ho disegnato in arancione un tratto di 5 s e ne ho calcolato la velocità media. Possiamo ripetere l’operazione con intervalli di tempo sempre più piccoli. Succedono due cose:la linea spezzata corrisponde sempre di più alla linea blu continuala velocità  media calcolata in questi intervalli si avvicina sempre di più alla velocità istantanea indicata dal tachimetro!

Ecco il capolavoro di Newton: inventare una definizione esatta per la velocità istante per istante di un oggetto in movimento, che è la seguente:

La velocità istantanea di un corpo, in un punto P del suo movimento, è il limite del rapporto tra lo spazio percorso a partire da P ed il tempo impiegato a precorrerlo, quando il tempo diventa sempre più piccolo (in matematica, si dice che tende a zero): questo limite si chiama derivata della curva nel punto P. Matematicamente, seguendo la notazione di Leibnitz, si dice che:

dove dtindica un intervallo di tempo prossimo a zero, e dsè il corrispondente spazio percorso, a partire dal punto P in cui misuriamo la velocità. La formula si legge: la velocità vè il limite del rapporto dsdiviso dt, quando dttende a zero.

Siete riusciti a seguirmi? Bravissimi! Siete più bravi voi di me, che vi spiego!

Facciamo un altro passo.

Se applichiamo la definizione al tratto rosso rettilineo, cosa troveremo? Troveremo che la velocità è costante su tutto il tratto! Infatti, nel disegno, i rapporti b/a e d/c, che esprimono la velocità, sono uguali perché appartengono a triangoli simili

Inoltre, poiché b/a = d/c è la pendenza della retta, possiamo dire che la velocità in P è la pendenza della retta. 

E per il tratto curvilineo? Nel disegno a fianco è evidente che, nella curva, il rapporto a/b è diverso dal rapporto c/d: quindi, per conoscere la velocità nel punto P, occorre considerare il limite di questo rapporto.

Man mano che il segmento PP1 diventa più corto, avvicinando P1 a P, la retta diventa la tangente alla curva nel punto P. Quindi, si può concludere che la velocità istantanea in P è la pendenza della tangente alla curva, nel punto P scelto.

Ebbene, se tracciamo il diagramma della velocità dell’auto, cioè delle pendenze della curva spazio – tempo, scopriamo che la velocità istantanea, nel nostro caso, è aumentata in proporzione al tempo; ha raggiunto il suo valore massimo, e poi è diminuita, sempre in proporzione del tempo, sino a zero. Ripeto: questo diagramma è giusto solo perché la nostra automobile ha accelerato e decelerato costantemente: con accelerazioni diverse, i diagrammi della velocità (e dello spazio) rispetto al tempo sarebbero diversi.

Ora dobbiamo chiederci: e quale sarà il diagramma dell’accelerazione nel tempo?

Poiché sappiamo che l’accelerazione media è la variazione della velocità nel tempo considerato, possiamo concludere che l’accelerazione, istante per istante, è la derivata della velocità:

Poiché la derivata di una retta è un valore costante, il diagramma dell’accelerazione è quello della figura. Il tratto 0-P1ha accelerazione costante (0,5 m/s2); il tratto P1-P2ha accelerazione nulla (non cambia la velocità); Il tratto P2-F ha anch’esso accelerazione costante (-1 m/s2).

Ma poiché abbiamo visto che

ne consegue che l’accelerazione, rispetto allo spazio, è la derivata della derivata dello spazio rispetto al tempo! Matematicamente, la formula diventa:

E si legge: “l’accelerazione a è la derivata seconda dello spazio rispetto al tempo”.

Chiaro? Bello? Speravo di dirvi tutto in questo articolo, ma è proprio impossibile. Voi direte: cosa c’è d’altro? C’è che devo rispondere all’altra domanda: abbiamo visto come si passa dal diagramma spaziale a quello della velocità ed a quello dell’accelerazione; come si passa, viceversa, dall’accelerazione alla velocità ed allo spazio percorso? È ciò che vi spiegherò nel prossimo articolo. Forza e coraggio!

Il secondo principio della dinamica

Continuiamo a far lavorare il nostro cervello, e facciamo un altro esperimento ideale. Abbiamo in mano una sfera di una certa massa. Lanciamo la sfera: cosa succede? Succede che, mentre abbiamo la sfera in mano, la acceleriamo (cioè, la mettiamo in movimento): quando la lasciamo, si allontana da noi con una certa velocità.

Analizziamo in dettaglio le fasi dell’esperimento: stiamo applicando una forza ad un oggetto di una certa massa. La nostra azione perdura sino a quando abbiamo l’oggetto in mano: quando lo lasciamo, il primo principio della dinamica ci dice che si allontana a velocità costante (nel nostro cervello, siamo nel vuoto, lontano dalla Terra).

Durante il lancio, la sfera, che era ferma, acquista velocità. Quindi, la forza che noi applichiamo al corpo serve per accelerarlo; quando smettiamo di ruotare il braccio, il corpo ha acquistato una velocità che dipende dalla accelerazione e dalla durata di applicazione della forza.

Domanda: e se cambiamo la massa dell’oggetto? L’intuito ci dice che, a pari forza, l’accelerazione è inversamente proporzionalealla massa; cioè, a una massa minore corrisponde una accelerazione maggiore.

Altra domanda: e se cambiamo la forza con cui lanciamo l’oggetto? Sempre l’intuito ci dice che l’accelerazione è direttamente proporzionale alla forza applicata: a forza maggiore corrisponde accelerazione maggiore.

Isaac Newton 1689 Sir Godfrey Kneller
Isaac Newton (1689)
Sir Godfrey Kneller

Questi, all’incirca, dovevano essere i pensieri di Newton, quando si dedicava allo studio del movimento accelerato. Un aiuto a questi studi gli veniva da Galileo, che aveva osservato la caduta di un corpo lungo un piano inclinato (orologio: il battito del suo cuore!), e scoperto che lo spazio percorso è proporzionale al quadrato del tempo trascorso.

La conclusione dei suoi studi, sempre pubblicata nel suo capolavoro “De philosophiae naturalis principia mathematica”, è stato il secondo principio della dinamica. Ecco la formulazione originale:

Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.

Capito tutto? Oggi formuliamo così la stessa legge:

Il cambiamento di moto è proporzionale alla forza motrice risultante applicata, ed avviene lungo la linea retta secondo la quale la forza stessa è stata esercitata.

Avete capito? Si parla di “risultante” perché le forze applicate possono essere più di una (legge del parallelogrammo!), e di cambiamento di moto; quindi, la legge si applica sia ad un oggetto in quiete che in moto rettilineo uniforme.

Ho promesso di parlare di fisica senza usare la matematica, tranne poche eccezioni. Questa è una di quelle: il secondo principio si scrive come segue.

F = m∙a;

(si legge emme per a) oppure

a = F / m

Dove F è la forza applicata; m è la massa del corpo accelerato; a è l’accelerazione che si sviluppa in seguito all’applicazione della forza F. Ma è semplicissima! Ci conferma quanto avevamo pensato: a pari m, con F maggiore a è maggiore. A pari F, con m maggiore a è minore.

Ritratto di Galileo Galilei (1636) Justus Sustermans
Ritratto di Galileo Galilei (1636)
Justus Sustermans

Voi direte: ma come posso calcolare la velocità raggiunta dal corpo, e lo spazio percorso durante l’accelerazione? Ripeto: Galileo aveva già dato una risposta alla seconda domanda; però, Newton aveva bisogno di formule che collegassero la velocità e lo spazio percorso al tempo di durata del fenomeno e all’accelerazione applicata. Quindi, per procedere, Newton è stato costretto a creare la matematica che gli serviva: nientemeno che l’analisi matematica! Ne riparleremo nel prossimo articolo; ora, finalmente, parliamo della forza, e della sua unità di misura.

Nella formula F = m∙a, conosciamo l’unità di misura della massa, il chilogrammo, e quella dell’accelerazione, m/s2: allora, qual è l’unità di misura della forza, nel SI?

È una unità composta: kg∙m/s2. Quindi, in nessun laboratorio di fisica troverete mai la forza campione!

In fisica, l’unità di forza si chiama, appunto, Newton; il simbolo è N. Per definizione, il Newton è la forza che, applicata ad una massa di 1 kg, la accelera di 1 m/s2: ripeto, è una unità composta.

Però, voi direte: normalmente, io misuro la forza in chilogrammi. Abbiamo imparato che il chilogrammo è, in effetti, l’unità di misura della massa del corpo; allora, il chilogrammo che usiamo per misurare la forza, che cosa è?

Per rispondere, consideriamo che, in natura, ci sono diversi tipi di forze: quella di una molla, che può tirare o spingere; quella di un magnete su un pezzo di ferro; quella elettrica, per cui con della plastica strofinata si attraggono dei pezzetti di carta. Ma c’è una forza che, sulla Terra, ci attira sempre verso il basso: la forza di gravità!

Ma che caratteristica ha questa forza di gravità? Domanda cruciale: dipende dalla massa del corpo, oppure da qualcosa di diverso? Il secondo principio ci dice che il rapporto tra forza e massa è l’accelerazione del corpo libero di muoversi; quindi, se la forza di gravità dipendesse dalla massa, tutti i corpi liberi di cadere lo farebbero con la stessa accelerazione.

Attenzione, ripeto: la massa del secondo principio e la massa dei gravi potrebbero essere due entità fisiche totalmente diverse! Poiché vi ho detto potrebbero, ciò significa che non lo sono. Ecco un fatto che ha spinto Einstein a formulare le leggi della gravità generale: ne riparleremo a suo tempo…

A questo punto, voi direte: ma l’accelerazione di gravità dipende dalla massa: un mattone cade più rapidamente di una piuma! Avete ragione; però, ritorniamo nel nostro laboratorio, il nostro cervello, e pensiamoci un poco…

Ritorniamo al nostro amico Galileo: sempre nel suo cervello, ha pensato (si favoleggia che lo abbia fatto davvero): metto una piuma sopra ad un mattone, e poi li faccio cadere assieme: cosa succede? Se Aristotele avesse ragione, la piuma dovrebbe rimanere indietro rispetto al mattone! Invece cadono assieme: perché? Se mattone e piuma venissero fatti cadere separatamente, la piuma cadrebbe più lentamente, perché è frenata dalla resistenza dell’aria. Invece, nell’esperimento pensato, il mattone fende l’aria, così che mattone e piuma cadono assieme!

Inoltre, Galileo ha pensato: prendo un mattone, lo faccio cadere: impiega un certo tempo. Ora spezzo il mattone in due: poiché i due pezzi pesano metà del mattone originario, seguendo Aristotele dovrebbero impiegare ciascuno il doppio del tempo! E se lego assieme i due pezzi? È evidente che quanto dice Aristotele è falso: gli oggetti devono cadere nello stesso tempo.

La cosa si verifica immediatamente facendo cadere oggetti diversi in un tubo a cui si sia tolto l’aria: cadono assieme! Ma questo, Galileo non poteva saperlo.

Conclusione? Tutti i corpi, a livello del mare (vedremo presto perché questa precisazione) cadono nel vuoto con la stessa accelerazione, indicata con g, e chiamata accelerazione di gravità. Il suo valore è (arrotondando) 9,81 m/s2 (che bella fortuna: quasi 10!).Ora, domanda conclusiva: con che forza di gravità viene attratto un corpo di massa 1 kg? Risposta: 9,81 N; nella pratica ingegneristica (ripeto, non è una unità SI) con la forza di 1 kg (ricordate? Per non confondersi, sarebbe meglio scrivere kgf, ma nella pratica quotidiana è inutile!). Quindi, per conoscere il nostro peso in Newton, basta moltiplicare per (quasi) 10 il nostro peso in chilogrammi. In conclusione, usiamo tranquillamente il kg come misura della forza: dato il contesto, non ci si sbaglia.