Il secondo principio della dinamica

Continuiamo a far lavorare il nostro cervello, e facciamo un altro esperimento ideale. Abbiamo in mano una sfera di una certa massa. Lanciamo la sfera: cosa succede? Succede che, mentre abbiamo la sfera in mano, la acceleriamo (cioè, la mettiamo in movimento): quando la lasciamo, si allontana da noi con una certa velocità.

Analizziamo in dettaglio le fasi dell’esperimento: stiamo applicando una forza ad un oggetto di una certa massa. La nostra azione perdura sino a quando abbiamo l’oggetto in mano: quando lo lasciamo, il primo principio della dinamica ci dice che si allontana a velocità costante (nel nostro cervello, siamo nel vuoto, lontano dalla Terra).

Durante il lancio, la sfera, che era ferma, acquista velocità. Quindi, la forza che noi applichiamo al corpo serve per accelerarlo; quando smettiamo di ruotare il braccio, il corpo ha acquistato una velocità che dipende dalla accelerazione e dalla durata di applicazione della forza.

Domanda: e se cambiamo la massa dell’oggetto? L’intuito ci dice che, a pari forza, l’accelerazione è inversamente proporzionalealla massa; cioè, a una massa minore corrisponde una accelerazione maggiore.

Altra domanda: e se cambiamo la forza con cui lanciamo l’oggetto? Sempre l’intuito ci dice che l’accelerazione è direttamente proporzionale alla forza applicata: a forza maggiore corrisponde accelerazione maggiore.

Isaac Newton 1689 Sir Godfrey Kneller
Isaac Newton (1689)
Sir Godfrey Kneller

Questi, all’incirca, dovevano essere i pensieri di Newton, quando si dedicava allo studio del movimento accelerato. Un aiuto a questi studi gli veniva da Galileo, che aveva osservato la caduta di un corpo lungo un piano inclinato (orologio: il battito del suo cuore!), e scoperto che lo spazio percorso è proporzionale al quadrato del tempo trascorso.

La conclusione dei suoi studi, sempre pubblicata nel suo capolavoro “De philosophiae naturalis principia mathematica”, è stato il secondo principio della dinamica. Ecco la formulazione originale:

Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.

Capito tutto? Oggi formuliamo così la stessa legge:

Il cambiamento di moto è proporzionale alla forza motrice risultante applicata, ed avviene lungo la linea retta secondo la quale la forza stessa è stata esercitata.

Avete capito? Si parla di “risultante” perché le forze applicate possono essere più di una (legge del parallelogrammo!), e di cambiamento di moto; quindi, la legge si applica sia ad un oggetto in quiete che in moto rettilineo uniforme.

Ho promesso di parlare di fisica senza usare la matematica, tranne poche eccezioni. Questa è una di quelle: il secondo principio si scrive come segue.

F = m∙a;

(si legge emme per a) oppure

a = F / m

Dove F è la forza applicata; m è la massa del corpo accelerato; a è l’accelerazione che si sviluppa in seguito all’applicazione della forza F. Ma è semplicissima! Ci conferma quanto avevamo pensato: a pari m, con F maggiore a è maggiore. A pari F, con m maggiore a è minore.

Ritratto di Galileo Galilei (1636) Justus Sustermans
Ritratto di Galileo Galilei (1636)
Justus Sustermans

Voi direte: ma come posso calcolare la velocità raggiunta dal corpo, e lo spazio percorso durante l’accelerazione? Ripeto: Galileo aveva già dato una risposta alla seconda domanda; però, Newton aveva bisogno di formule che collegassero la velocità e lo spazio percorso al tempo di durata del fenomeno e all’accelerazione applicata. Quindi, per procedere, Newton è stato costretto a creare la matematica che gli serviva: nientemeno che l’analisi matematica! Ne riparleremo nel prossimo articolo; ora, finalmente, parliamo della forza, e della sua unità di misura.

Nella formula F = m∙a, conosciamo l’unità di misura della massa, il chilogrammo, e quella dell’accelerazione, m/s2: allora, qual è l’unità di misura della forza, nel SI?

È una unità composta: kg∙m/s2. Quindi, in nessun laboratorio di fisica troverete mai la forza campione!

In fisica, l’unità di forza si chiama, appunto, Newton; il simbolo è N. Per definizione, il Newton è la forza che, applicata ad una massa di 1 kg, la accelera di 1 m/s2: ripeto, è una unità composta.

Però, voi direte: normalmente, io misuro la forza in chilogrammi. Abbiamo imparato che il chilogrammo è, in effetti, l’unità di misura della massa del corpo; allora, il chilogrammo che usiamo per misurare la forza, che cosa è?

Per rispondere, consideriamo che, in natura, ci sono diversi tipi di forze: quella di una molla, che può tirare o spingere; quella di un magnete su un pezzo di ferro; quella elettrica, per cui con della plastica strofinata si attraggono dei pezzetti di carta. Ma c’è una forza che, sulla Terra, ci attira sempre verso il basso: la forza di gravità!

Ma che caratteristica ha questa forza di gravità? Domanda cruciale: dipende dalla massa del corpo, oppure da qualcosa di diverso? Il secondo principio ci dice che il rapporto tra forza e massa è l’accelerazione del corpo libero di muoversi; quindi, se la forza di gravità dipendesse dalla massa, tutti i corpi liberi di cadere lo farebbero con la stessa accelerazione.

Attenzione, ripeto: la massa del secondo principio e la massa dei gravi potrebbero essere due entità fisiche totalmente diverse! Poiché vi ho detto potrebbero, ciò significa che non lo sono. Ecco un fatto che ha spinto Einstein a formulare le leggi della gravità generale: ne riparleremo a suo tempo…

A questo punto, voi direte: ma l’accelerazione di gravità dipende dalla massa: un mattone cade più rapidamente di una piuma! Avete ragione; però, ritorniamo nel nostro laboratorio, il nostro cervello, e pensiamoci un poco…

Ritorniamo al nostro amico Galileo: sempre nel suo cervello, ha pensato (si favoleggia che lo abbia fatto davvero): metto una piuma sopra ad un mattone, e poi li faccio cadere assieme: cosa succede? Se Aristotele avesse ragione, la piuma dovrebbe rimanere indietro rispetto al mattone! Invece cadono assieme: perché? Se mattone e piuma venissero fatti cadere separatamente, la piuma cadrebbe più lentamente, perché è frenata dalla resistenza dell’aria. Invece, nell’esperimento pensato, il mattone fende l’aria, così che mattone e piuma cadono assieme!

Inoltre, Galileo ha pensato: prendo un mattone, lo faccio cadere: impiega un certo tempo. Ora spezzo il mattone in due: poiché i due pezzi pesano metà del mattone originario, seguendo Aristotele dovrebbero impiegare ciascuno il doppio del tempo! E se lego assieme i due pezzi? È evidente che quanto dice Aristotele è falso: gli oggetti devono cadere nello stesso tempo.

La cosa si verifica immediatamente facendo cadere oggetti diversi in un tubo a cui si sia tolto l’aria: cadono assieme! Ma questo, Galileo non poteva saperlo.

Conclusione? Tutti i corpi, a livello del mare (vedremo presto perché questa precisazione) cadono nel vuoto con la stessa accelerazione, indicata con g, e chiamata accelerazione di gravità. Il suo valore è (arrotondando) 9,81 m/s2 (che bella fortuna: quasi 10!).Ora, domanda conclusiva: con che forza di gravità viene attratto un corpo di massa 1 kg? Risposta: 9,81 N; nella pratica ingegneristica (ripeto, non è una unità SI) con la forza di 1 kg (ricordate? Per non confondersi, sarebbe meglio scrivere kgf, ma nella pratica quotidiana è inutile!). Quindi, per conoscere il nostro peso in Newton, basta moltiplicare per (quasi) 10 il nostro peso in chilogrammi. In conclusione, usiamo tranquillamente il kg come misura della forza: dato il contesto, non ci si sbaglia.

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