Partendo dalle equazioni di Newton, vogliamo disegnare l’orbita della Terra attorno al Sole. Gli assi coordinati x e y hanno l’origine nel Sole. In questo lavoro apportiamo una semplificazione: supponiamo che il sole stia fermo mentre la Terra gli gira attorno. La realtà è che anche il Sole si muove sotto l’attrazione della Terra: in effetti, si muovono entrambi, Terra e Sole, attorno al centro di massa del sistema Terra-Sole.
Cos’è e dove si trova questo centro di massa? In sintesi, il centro di massa è il fulcro, virtuale, di una leva che ha Terra e Sole ai suoi estremi. Date le masse di terra e Sole e la loro distanza, si trova che il centro di massa del sistema dista circa 5∙105 m dal centro del Sole. Tanto? Attenti: sono 500 km, mentre il Sole ha un raggio di 700.000 km! Ecco perché la nostra approssimazione è valida.
Noi ci proponiamo di disegnare la forma dell’orbita della Terra usando il calcolo numerico, cioè approssimando le equazioni esatte. Prima di tutto, dobbiamo definire il sistema di coordinate rispetto al quale calcolare il movimento: la cosa più semplice è mettere gli assi coordinati sul piano dell’eclittica; ecco il disegno della Terra e del Sole ad un certo istante. La Terra è sottoposta all’attrazione gravitazionale del Sole e si sta muovendo sulla sua orbita con velocità v.
Ora il nostro compito è quello di riscrivere la seconda equazione della dinamica e la legge di gravitazione universale in modo tale da ottenere le equazioni che ci servono per disegnare l’orbita terrestre. La forza di attrazione del Sole sulla Terra si scompone in due componenti, entrambe negative, perché in direzione opposta rispetto a quella degli assi:
F = forza Terra – Sole;
Fx, Fy = componenti della forza;
x,y = coordinate della Terra;
r = distanza Terra – Sole.
Dalla similitudine tra i triangoli F, Fx, Fy e r, x, y otteniamo:
Fx/F = – x/r; Fy/F = – y/r; ergo:
Fx = -x∙F/r = -G∙M∙m∙x/r3
Fy = -y∙F/r = -G∙M∙m∙y/r3
Dalla legge di gravitazione universale e dalla seconda legge della dinamica abbiamo:
d2s/dt2 = -G∙M/r2
Quindi le componenti dell’accelerazione sono:
d2x/dt2 = ax = -G∙M∙x/r3
d2y/dt2 = ay = -G∙M∙y/r3
Poiché d2s/dt2 = dv/dt, scriviamo le tre leggi che ci consentono di disegnare l’ellisse:
dvx/dt = -GMx/r3
dvy/dt = -GMy/r3
r = √(x2 + y2)
Come dicevo, questo sistema di equazioni è risolubile in forma esatta; però, adottiamo invece un approccio numerico che non richiede la conoscenza delle equazioni differenziali. Come sapete, l’operazione dx/dt richiede di passare al limite del rapporto; noi, invece di arrivare al limite, scegliamo un Δt convenientemente piccolo, così da non sbagliare troppo nel disegno dell’ellisse, e calcoliamo dalla formula il valore di x corrispondente. Iterando i calcoli un numero sufficiente di volte arriviamo a disegnare l’ellisse completa. Tutto ciò si può fare in modo abbastanza semplice usando EXCEL od un simile programma spreadsheet.
Ho tratto quanto segue dal libro di fisica di Feynman: scusate se è poco!
Ribadiamo il concetto di ciò che stiamo per fare. Per semplificare, iniziamo i calcoli all’istante t = 0, quando la Terra si trova su un punto dell’asse x; inoltre prendiamo, per ora, dei valori arbitrari, che non modificano la forma dell’orbita terrestre. Quindi, partiamo da x(0) = 0,5; y(0) = 0: conosciamo i valori di vx e vy?
Come si vede dal disegno, vx(0) = 0; per vy diamo il valore vy(0) = 1,57. Cos’è quello strano valore per vy? Niente paura: è π/2: ci semplifica il disegno. Infine, prendiamo Δt = 0,1 (con EXCEL è facilissimo cambiare i parametri!).
Bene: tutto ciò che dobbiamo fare è calcolare i valori di x e y dopo un tempo pari a Δt, 2Δt, 3Δt… sino a quando abbiamo disegnato tutta l’ellisse. E come si procede?
Anzitutto, sempre per semplificare, poniamo G∙M = 1 (è solo una costante moltiplicativa): le formule diventano:
Δvx/Δt = -x/r3 = ax
Δvy/Δt = -y/r3 = ay
r = √(x2 + y2)
Da cui otteniamo:
Δvx = Δt∙ax;
Questa formula si riferisce alla variazione di velocità. Quando è passato il tempo N∙Δt dall’inizio, la Terra avrà acquistato la velocità vx(N); quindi, all’istante (N+1)∙Δt, la velocità vx(N+1) sarà uguale alla velocità precedente vx(N) più la variazione di velocità Δvx; quindi:
vx(N+1) = vx(N) + Δt∙ax
Analogamente, vy(N+1) = vy(N) + Δt∙ay
Quindi, una volta noti vx(0), vy(0), ax(0), ay(0), possiamo calcolare i vx e vy successivi. Infine, le nuove posizioni della terra sono:
x(N+1) = x(N) + Δt∙vx
y(N+1) = y(N) + Δt∙vy
Vedete? Conosciamo x(0), y(0), vx(0) e vy(0): completiamo i dati iniziali calcolando r(0), ax(0), ay(0), usando le formule qui sopra. Otteniamo:
r(0) = 0,5; ax(0) = -4; ay(0) = 0
Spero che sia tutto chiaro!
Bene: ora facciamo ciò che è facile con EXCEL: costruiamo una tabella con i valori di: x, y, r, ax, ay, vx, vy e poi incrementiamo Δt. Ecco l’intestazione della tabella, i valori iniziali ed i valori calcolati per il primo passo.
| N | x | y | r | ax | ay | vx | vy | Δt |
| 0 | 0,5 | 0 | 0,5 | -4 | 0 | 0 | 1,57 | 0,1 |
| 1 | 0,5 | 0,157 | 0,524 | -3,473 | -1,090 | -0,347 | 1,460 |
Nella tabella trovate anche Δt perché, a questo modo, posso verificare l’esito dei calcoli con valori diversi: più Δt è piccolo, più preciso è il disegno.
Quante volte devo riciclare i calcoli? Semplice: guardate i valori di x; li vedrete diminuire e poi aumentare. Quando i valori ritornano a 0,5 avete disegnato una ellisse completa.
Se usate EXCEL, per avere il diagramma dell’elaborazione selezionate le colonne x e y, e la funzione Inserisci Grafici x,y: ecco il risultato!
Ecco l’ellisse, come promesso! Però, come vedete, l’ellisse è un poco grossolana: proviamo a usare Δt = 0,04; ecco il risultato.
Ottimo! Con Δt più piccoli aumenta la precisione del disegno (ed il numero di passi necessari); e con Δt maggiore? Ad esempio, con Δt = 0,2?
Come vedete, l’ellisse non si richiude su sé stessa: l’errore cumulativo è troppo grande.
Ma voi dite: vorremmo disegnare la traiettoria reale della Terra! Rispondo: non è difficile; è sufficiente usare le stesse formule, ed i parametri reali, che riassumo.
| MASSA TERRA | MASSA SOLE | DISTANZA T – S | VELOCITA TERRA | COSTANTE G | ANNO | COST G*Ms |
| kg | kg | m | m/s | m3kg-1s-2 | s | m3s-2 |
| 5,97E+24 | 2,00E+30 | 1,50E+11 | 3,00E+04 | 6,67E-11 | 3,16E+07 | 1,33E+20 |
Attenti: sono parametri che trovate facilmente, tranne, forse, la velocità della Terra. Assimilando l’ellisse ad un cerchio, la Terra compie la circonferenza in un anno: da qui ricavate la sua velocità.
E per quanto riguarda Δt? Considerate che la Terra impiega un anno per compiere il giro attorno al Sole: sono 365 giorni. Poiché un giorno dura 86400 s, se prendete dei multipli del giorno sapete anche quanti passi calcolare per disegnare l’ellisse. Ad esempio, usando Δt = 432.000 s, cioè 5 giorni, occorrono 365/5 = 73 passi.
Ecco l’inizio della tabella di calcolo, con i valori iniziali e la prima riga calcolata.
| N | x | y | r | ax | ay | vx | vy | Δt |
| 0 | 1,50E+11 | 0 | 1,50E+11 | -5,93E-03 | 0,00E+00 | 0 | 3,00E+04 | 432000 |
| 1 | 1,50E+11 | 1,30E+10 | 1,5056E+11 | -5,86E-03 | -5,07E-04 | -2,53E+03 | 2,98E+04 |
Ed ecco l’ellisse reale.
Mi fermo qui, ma, se volete, potete aggiungere un altro pianeta, e calcolare le due orbite: in questo caso, ci sono più forze in gioco. Supponiamo di voler aggiungere anche Giove: sulla Terra agiranno l’attrazione del Sole e quella di Giove; su Giove, l’attrazione del Sole e quella della Terra. Buon divertimento a chi si cimenta! Attenti, però: il metodo che abbiamo seguito è l’unico che possiamo utilizzare per calcolare le orbite dei pianeti con più di un pianeta che orbita attorno al Sole: con più di un pianeta, le equazioni di Newton non sono risolubili in forma esatta!
Clio 