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Cosa combinò Newton

Premessa
Questo articolo mi fa tremare i polsi: ho la pretesa di riassumere in un breve articolo almeno un anno di matematica del liceo, ed il pensiero del grande Newton! Vediamo cosa riesco a fare.

Vi ho parlato di spazio, velocità, accelerazione: però, ho parlato solo di velocità ed accelerazione media. La vostra obiezione è: mentre accelero l’auto, il tachimetro mi indica ad ogni momento la velocità a cui sto andando. Alla fine dell’accelerazione, la velocità raggiunta non è la velocità media: cosa misura il tachimetro?

Per rispondervi, riprendiamo il diagramma dello spazio percorso. Sono evidenti tre tratti: da 0 a P1 l’auto accelera; da P1 a P2 procede a velocità costante; da P2 a F decelera. In 0 ed in F l’auto è ferma. Attenzione; le coordinate sono tempo (in secondi) e spazio (in metri).

Consideriamo ora solo il tratto tra 0e P1. Abbiamo detto che la velocità media è lo spazio percorso (nel diagramma, 900 m) diviso il tempo impiegato a percorrerlo (60 s).

Considerate la linea rossa che ho sovrapposto al diagramma: se fosse il diagramma del vostro spostamento, quale sarebbe la sua velocità media? Ovviamente, la stessa: qualunque sia il movimento tra 0 e P1, la velocità media non cambia! Questo perché nella media intervengono solo due valori, 0 e P1; quello che succede in mezzo non cambia la media.

Bene: ora, considerate i due tratti verdi: rappresentano il caso in cui siete andati a 225/30 = 7,5 m/s per 30 s, e poi a 675/30 = 22,5 m/s per gli altri 30 s. In ciascuno di questi tratti si parla sempre di velocità media, che dipende solo dagli estremi. Cosa succede se consideriamo tratti sempre più piccoli, cioè se consideriamo intervalli di tempo sempre più vicini? 

Per chiarezza, ho disegnato in arancione un tratto di 5 s e ne ho calcolato la velocità media. Possiamo ripetere l’operazione con intervalli di tempo sempre più piccoli. Succedono due cose:la linea spezzata corrisponde sempre di più alla linea blu continuae la velocità  media calcolata in questi intervalli si avvicina sempre di più alla velocità istantanea indicata dal tachimetro!

Ecco il capolavoro di Newton: inventare una definizione esatta per la velocità istante per istante di un oggetto in movimento, che è la seguente:

La velocità istantanea di un corpo, in un punto P del suo movimento, è il limite del rapporto tra lo spazio percorso a partire da P ed il tempo impiegato a precorrerlo, quando il tempo diventa sempre più piccolo (in matematica, si dice che tende a zero): questo limite si chiama derivata della curva nel punto P. Matematicamente, seguendo la notazione di Leibnitz, si dice che:

dove dtindica un intervallo di tempo prossimo a zero, e dsè il corrispondente spazio percorso, a partire dal punto P in cui misuriamo la velocità. La formula si legge: la velocità vè il limite del rapporto dsdiviso dt, quando dttende a zero.

Siete riusciti a seguirmi? Bravissimi! Siete più bravi voi di me, che vi spiego!

Facciamo un altro passo.

Se applichiamo la definizione al tratto rosso rettilineo, cosa troveremo? Troveremo che la velocità è costante su tutto il tratto! Infatti, nel disegno, i rapporti b/a e d/c, che esprimono la velocità, sono uguali perché appartengono a triangoli simili. 

Inoltre, poiché b/a = d/c è la pendenza della retta, possiamo dire che la velocità in P è la pendenza della retta. 

E per il tratto curvilineo? Nel disegno a fianco è evidente che, nella curva, il rapporto a/b è diverso dal rapporto c/d: quindi, per conoscere la velocità nel punto P, occorre considerare il limite di questo rapporto.

Man mano che il segmento PP1 diventa più corto, avvicinando P1 a P, la retta diventa la tangente alla curva nel punto P. Quindi, si può concludere che la velocità istantanea in P è la pendenza della tangente alla curva, nel punto P scelto.

Ebbene, se tracciamo il diagramma della velocità dell’auto, cioè delle pendenze della curva spazio – tempo, scopriamo che la velocità istantanea, nel nostro caso, è aumentata in proporzione al tempo; ha raggiunto il suo valore massimo, e poi è diminuita, sempre in proporzione del tempo, sino a zero. Ripeto: questo diagramma è giusto solo perché la nostra automobile ha accelerato e decelerato costantemente: con accelerazioni diverse, i diagrammi della velocità (e dello spazio) rispetto al tempo sarebbero diversi.

Ora dobbiamo chiederci: e quale sarà il diagramma dell’accelerazione nel tempo?

Poiché sappiamo che l’accelerazione media è la variazione della velocità nel tempo considerato, possiamo concludere che l’accelerazione, istante per istante, è la derivata della velocità:

Poiché la derivata di una retta è un valore costante, il diagramma dell’accelerazione è quello della figura. Il tratto 0-P1ha accelerazione costante (0,5 m/s2); il tratto P1-P2ha accelerazione nulla (non cambia la velocità); Il tratto P2-F ha anch’esso accelerazione costante (-1 m/s2).

Ma poiché abbiamo visto che

ne consegue che l’accelerazione, rispetto allo spazio, è la derivata della derivata dello spazio rispetto al tempo! Matematicamente, la formula diventa:

E si legge: “l’accelerazione a è la derivata seconda dello spazio rispetto al tempo”.

Chiaro? Bello? Speravo di dirvi tutto in questo articolo, ma è proprio impossibile. Voi direte: cosa c’è d’altro? C’è che devo rispondere all’altra domanda: abbiamo visto come si passa dal diagramma spaziale a quello della velocità ed a quello dell’accelerazione; come si passa, viceversa, dall’accelerazione alla velocità ed allo spazio percorso? È ciò che vi spiegherò nel prossimo articolo. Forza e coraggio!

Eraclito – 1

Il tempo è un gioco, giocato splendidamente dai bambini – Eraclito

Il tempo

Misurare il tempo? Ma è la cosa più facile del mondo! Guardo l’orologio, e non ci penso più!
Beh, in effetti, forse, non è proprio così: dipende dal tipo di orologio che abbiamo: meccanico, elettronico, con visore analogico o digitale, sincronizzato via radio…

Gli orologi meccanici hanno sempre bisogno di essere ricaricati; inoltre, anche quelli buonissimi, sbagliano, anche se poco, e devono essere corretti. Anche i migliori orologi elettronici, se non sono sincronizzati via radio, vanno verificati; inoltre, occorre spostare l’ora quando si passa dall’ora solare a quella legale. Infine, siamo uomini di mondo, ci spostiamo (spostavamo?) facilmente in aereo, c’è da tener conto del fuso orario… Ripensandoci, anche la questione del tempo non è proprio così ovvia: occorre qualcuno che ci dica l’ora esatta, ed a cui possiamo prestare fede: chi è? Come ci si è arrivati?

Anzitutto, stabiliamo il fatto che noi non misuriamo il tempo: quelli che misuriamo sono intervalli di tempo tra due eventi. Per semplicità, continuerò parlando del nostro sistema di misura del tempo, che usa dei riferimenti basati sulla natura. Il primo riferimento è il tempo che impiega la Terra a girare su sé stessa, ed a raggiungere la stessa posizione rispetto al Sole: è il giorno solare. Il secondo riferimento è il tempo che impiega la Terra per compiere la sua rivoluzione attorno al Sole: è l’anno solare. Questi due tempi non sono sincronizzati tra di loro (e questo fatto ha causato i problemi che vedremo): la durata dell’anno solare è di 365,2425 giorni. Notate che non uso simboli per minuto, ora, giorno, anno: non sono unità del Sistema Internazionale.

Il giorno solare è stato diviso in 24 ore, a loro volta divise in 60 minuti, divisi ancora in 60 secondi, divisi ancora con la divisione millesimale (finalmente!). Capirete bene che, in fisica e in tutti i sistemi di misura del tempo, si utilizzano solo i secondi, simbolo s, che sono, se necessario, tradotti nei loro multipli. Quindi, un’ora vale 3600 s; un giorno vale 86.400 s; un anno vale 31.556.952 s.

Del secondo si usano i sottomultipli: millisecondo, simbolo ms, pari a 0,001 s; il microsecondo, simbolo μs, un milionesimo di secondo; il nanosecondo, simbolo ns, un miliardesimo di secondo. Voi dite: ma sono nomi mai sentiti!

Beh, a questo punto vi parlerò di un’altra unità di misura: l’Hertz. Di questo ne avete sentito parlare; ma cosa è?

Pensate al mare, ed alle sue onde: è un fenomeno che si ripete nel tempo. Quanto tempo passa tra una onda e la successiva? Diciamo 10 s. E se vi chiedo quante onde arrivano in un minuto? Voi mi dite 6: basta dividere 60 per 10! Ebbene, siete passati dalla misura del tempo tra due onde (lo si chiama periodo) alla frequenzadelle onde in un dato intervallo di tempo, che è l’inverso del periodo. Quindi: 1 Hz = 1/s.

Nella figura di sopra è definito l’Hertz: un fenomeno ha la frequenza di 1 Hertz, simbolo Hz, quando avviene una volta al secondo. Allora, ecco qui: quando sentite che qualcosa avviene alla frequenza di un chilohertz (1000 oscillazioni al secondo; 1 kHz), o di un megahertz (un milione di oscillazioni al secondo; 1 MHz), o di un gigahertz (un miliardo di oscillazioni al secondo; 1 GHz), sappiate che i periodi corrispondenti sono, appunto, 1 ms, 1 μs, 1 ns. E dove trovate queste frequenze? Nel vostro cellulare, nel PC, e persino in cucina, nel forno a microonde (che ha una frequenza attorno a 3 GHz). E le nostre onde del mare? Vanno a 0,1 Hz!

La misura del tempo è una delle cose che ha occupato, e preoccupato, l’umanità. Considerando solo la civiltà occidentale, ed a larghissime linee, ecco alcune curiosità. La prima è questa: come se la cavavano gli antichi romani con la misura del tempo? Dividendo il giorno in dodici “horae”; quindi, queste ore duravano di meno d’inverno rispetto all’estate: erano uguali solo agli equinozi! Le notti erano divise in quattro “vigiliae”, di circa tre ore l’una, sempre variabili con le stagioni.

L’orologio usato allora era la meridiana, che, appunto, indicava solo le ore diurne: a Taino, la scritta sulla meridiana dice “Sine Sole sileo”, coé: “Senza il Sole taccio”. In effetti, gli antichi romani avevano anche la clessidra, che divide il giorno in parti uguali, sia a sabbia che ad acqua: erano usate nei tribunali per dare a tutti lo stesso tempo! 

Il calendario romano era un vero rompicapo: per questo motivo, Giulio Cesare lo riformò, dividendo l’anno in dodici mesi, per un totale di 365 giorni, con l’aggiunta di un giorno ogni quattro anni. Come ho accennato, questa approssimazione per eccesso della durata dell’anno (365,25 invece di 365,2425 giorni) ha portato, nei secoli, ad un visibile disallineamento dell’anno rispetto alle stagioni. Conscio di ciò, nel 1582 papa Gregorio XIII lo modificò, e sottrasse 10 giorni dal calendario (dal 4 ottobre si saltò al 15 ottobre). 

Apriti cielo! I contadini pensavano che fosse un imbroglio dei signori per infinocchiare la povera gente. Accettarono il cambiamento quando i preti li convinsero che i santi avrebbero fatto miracoli secondo le date del nuovo calendario. Germania e Olanda, protestanti, l’adottarono nel 1700, l’Inghilterra soltanto nel 1752 e la Cina nel 1912. Oggi soltanto Etiopia, Nepal, Iran e Afghanistan hanno un calendario diverso; altri Paesi come India, Bangladesh, Israele, Pakistan e Burma accostano un calendario locale a quello gregoriano. Una setta ortodossa russa continua a seguire il calendario giuliano!

L’arrivo dell’orologio a pendolo, man mano perfezionato, divise finalmente il giorno in 24 ore; però, rimase la questione del mezzogiorno. Ogni paese e città aveva il suo, indicato dalla meridiana. Tutto continuò così sino a quando arrivarono il telegrafo ed i treni: occorreva un mezzogiorno unico di riferimento! Pensate che ancora nel nostro risorgimento esistevano diversi mezzogiorni, delle principali città: Torino, Milano, Venezia, Roma, Napoli, Palermo. Solo nel 1866 si adottò l’orario di Roma per tutta l’Italia.

Però, ancora non bastava: e tra le varie nazioni? Solo nel 1884 una conferenza internazionale disegnò i fusi orari, ancora in uso oggi. I fusi orari sono estremamente irregolari: pensate che la Cina ha un solo orario!

In conclusione, oggi tutti gli orologi si riferiscono al Tempo Universale Coordinato (in inglese, UTC): corrisponde quasi al tempo di Greenwich. Il punto è che la buona, vecchia Terra è un po’ stanca di girare, e perde, ogni tanto, un secondo: ecco perché, sempre ogni tanto, occorre aggiungere i secondi intercalari.

Oggi il SI ha definito il secondo come: “la durata di 9.192.631.770 periodi della radiazione corrispondente alla transizione tra due livelli dello stato fondamentale dell’atomo di cesio-133”. Capito qualcosa? È un orologio atomico: il più preciso sbaglia di un secondo su tutta la vita dell’Universo!

Arrivederci al prossimo articolo!