Per un momento, dimentichiamo tutto ciò che la scienza ci ha spiegato della Luna, e facciamoci incantare dalla sua presenza nel cielo. Non è senza motivo se gli antichi hanno pensato che fosse una dea benigna, che ci rischiara le notti e ci dà una misura del passare delle stagioni.
Come dea, doveva essere qualcosa di perfetto, ben diverso dalla nostra Terra, piena com’è di problemi di tutti i tipi! Ed ecco Aristotele, peraltro geniale, porla in un suo cielo etereo, irraggiungibile, mentre noi apparteniamo alla realtà “sublunare”.
Molti secoli dopo, Galileo Galilei ha puntato il telescopio sulla Luna, ha visto pianure, montagne, crateri, ed ha capito che la Luna è un oggetto materiale. Immagino che questo concetto fosse già nel sentimento comune; ad ogni modo, questo fatto era acquisito circa sessanta anni dopo, quando Newton era giovane e pieno d’idee.
Ma se la Luna è un oggetto, perché non cade?
La leggenda dice che un giorno Newton ha visto una mela cadere, e si è posto proprio questa domanda. Ripeto: l’idea che la Luna fosse un oggetto, come la Terra, il Sole, i pianeti, era stata acquisita da poco.
Ecco ciò che ha pensato Newton (sempre il nostro cervello come laboratorio): la mela cade in seguito all’azione di una forza, la forza di gravità. Ma questa forza di gravità è confinata sulla Terra, o si estende dovunque?
Ecco il pensiero audace: la forza di gravità si estende ovunque; in particolare, dalla Terra alla Luna; dal Sole alla Terra ed ai pianeti! Inoltre, è ragionevole pensare che questa forza sia generata dalla massa dell’oggetto, e che cambi con la distanza, secondo una legge da definire. Attenzione, ripeto: questa forza e la legge che la governa sono le stesse in tutto l’universo, sino alla stella più remota: è la legge di gravitazione universale! Se questo non è un pensiero audace, datemi un altro esempio di audacia intellettuale. In conclusione, Newton si aspettava che la forza di gravitazione seguisse la seguente legge:
F = G ∙ m1 ∙ m2 / Rx
Dove: F è la forza di gravità tra i corpi 1 e 2, rispettivamente di masse m1 e m2; G è una costante di proporzionalità; R è la distanza tra i corpi; x è un esponente da dare a R, che definisce quanto rapidamente diminuisce la forza F con la distanza (con R = 1 la forza diminuisce con la distanza; con x = 2 diminuisce con il quadrato della distanza, eccetera).
In questa formula, Newton aveva una conoscenza approssimata delle masse della Terra e della Luna; credeva di conoscere R, cioè la distanza Terra – Luna, ma era sbagliata; infine, non conosceva né l’esponente x, né la costante G: come fare per calcolarle? Vediamo cosa ha combinato Newton.
Partiamo dall’ipotesi: la Terra esercita lo stesso tipo di forza sia sulla mela che sulla Luna; ma allora, perché la Luna non cade? Risposta: non cade perché gira attorno alla Terra! La Terra attrae la Luna con una forza centripeta; la Luna non cade perché, girando, sviluppa una reazione centrifuga uguale ed opposta alla forza centripeta terrestre.
Vedete a cosa è servito a Newton saper calcolare l’accelerazione centripeta di un corpo rotante di moto circolare uniforme? Il bello è che sapete calcolarlo anche voi! Come?
Ricordiamoci la formula: a = v2 / R, dove: a è l’accelerazione centripeta esercitata dall’attrazione terrestre, da calcolare; v è la velocità della Luna; R è la sua distanza.
Noi sappiamo che la Luna descrive una orbita ellittica attorno alla Terra; però, non andiamo troppo per il sottile: diciamo che l’orbita è circolare, con una distanza media di 384.400 km: con R siamo a posto. E la velocità v? beh, anche questo lo sappiamo: il mese lunare dura 27,32 giorni terrestri. Allora, nessuna paura: convertiamo i km in metri, ed i giorni in secondi.
Risulta: R = 384.400.000 m; si può scrivere R = 3,84 ∙ 108 m. Il periodo T di rotazione è T = 27,32 giorni. Poiché un giorno dura 86400 s, il periodo è T = 2.360.448 s. In conclusione, la circonferenza percorsa dalla Luna è S = 2 ∙ 3,14 ∙ R = 2,414 ∙ 109 m; la velocità è v = S / T = 1020 m/s! Caspita, quanto viaggia veloce la nostra Luna! Chi l’avrebbe mai detto? Ma allora, l’accelerazione vale a = v2 / R = 2,7 ∙ 10-3 m/s2.
E sulla Terra, quanto vale l’accelerazione di gravità? Newton lo sapeva: 9,81 m/s2. OK; e qual è la distanza della mela dalla Terra? Voi, in coro: circa due metri! Attenti, ferma tutto!
Ragioniamo un poco: l’attrazione della Terra sulla mela proviene forse da quel poco di terra che si trova sotto l’albero, o proviene da tutta la massa della Terra? Ecco l’altra enorme intuizione di Newton: proviene, obbligatoriamente, da tutta la massa della Terra! Bene, è ragionevole; anzi, ovvio. Però, ora siamo nei pasticci: dobbiamo tagliare la Terra a fettine, e calcolare separatamente l’attrazione di ogni fettina sulla mela?
Ed ecco la formidabile, e conclusiva, intuizione di Newton: l’attrazione delle varie fettine della Terra equivale a quella di un punto che si trova al centro della Terra!
Pensiamoci: avrà ragione Newton? Beh, siamo in una situazione in cui ad ogni fettina vicina alla mela ne corrisponde un’altra simmetrica rispetto al centro della Terra. Quella vicina attira di più, quella lontana attira di meno; in media, è come se si trovassero al centro.
Newton conosceva le dimensioni della Terra; quindi, poteva dire che la mela si trovava a 6,39 milioni di metri dal centro: 6,39 ∙ 106 m.
Quindi, alla conclusione delle sue elucubrazioni, Newton aveva questi numeri:
- Accelerazione della forza di gravità. Sulla Terra: g = 9,81 m/s2; sulla Luna, a = 2,7 ∙ 10-3 m/s2;
- Distanza mela – Terra (centro): R = 6,39 ∙ 106 m; distanza Luna – Terra: d = 3,84 ∙ 108 m;
- Rapporto g/a: 3600; rapporto d / R = 60.
Ma allora, l’accelerazione aumenta di 3600 volte quando la distanza diminuisce di 60 volte! Poiché 3600 = 602, se ne deduce che:
x = 2
La legge di gravitazione universale deve essere del tipo:
F = G ∙ m1 ∙ m2 / R2
E per G? Che valore ha?
Newton non ha potuto calcolarlo o misurarlo: ci ha pensato Henry Cavendish che, nel 1798, con una bilancia di precisione chiamata pendolo a torsione, e con tanta pazienza, ha misurato:
G = 6,674 ∙ 1011 m2/kg∙s2
Nella bilancia, M e m si attirano. La loro attrazione fa ruotare le due masse m di un angolo θ. Alla rotazione si oppone il filo K, che si torce. Una volta calibrato il filo K, e stabilito il rapporto tra la forza F e l’angolo θ, si può misurare la costante G:
G = F ∙ r2 / m ∙ M
Attenti: facile da dirsi…
Conclusione: man mano che le misure di R, massa della Terra, massa della Luna si sono affinate, è stato possibile affinare la formula. Poi, grazie ai suoi calcoli di derivate ed integrali, Newton ha potuto dimostrare che le orbite della Luna e dei pianeti, descritte da Keplero, erano conseguenti alla sua legge! Trionfo totale!
Clio 