L’equazione di stato del gas

L’equazione di stato del gas descrive il comportamento di un gas ideale in relazione tra pressione, volume, temperatura e quantità di sostanza attraverso PV = nRT

Riprendiamo il discorso che abbiamo iniziato a trattare nell’articolo precedente: partendo dalla teoria cinetica dei gas, e cioè dalla descrizione di un gas come un insieme di particelle perfettamente elastiche in agitazione permanente, che si urtano di continuo ed urtano le pareti di un pistone, siamo arrivati ad una formula molto significativa. Se indichiamo:

P = pressione del gas;
V = volume del gas;
N = numero di atomi del gas;
<mv²/2> = energia cinetica media degli atomi del gas,

abbiamo scoperto la relazione:

P∙V = (2/3)∙N∙<mv²/2>

In questa formula manca la temperatura T del gas, che sappiamo misurare, e ci sono due parametri, N e <mv²/2>, che non sappiamo misurare. Come ce la caviamo?

Rientriamo nel nostro laboratorio, e pensiamo agli atomi che si urtano di continuo. Domanda: qual è la velocità media delle particelle in una qualunque direzione? Beh, se la velocità media delle particelle, ad esempio verso il pistone, fosse diversa da zero, il risultato sarebbe che tutti gli atomi si accalcherebbero contro il pistone, lasciando del vuoto nella direzione opposta, e questo è assurdo! Quindi, la velocità media degli atomi, in ogni direzione, deve essere zero! Ma allora, l’energia cinetica media degli atomi deve essere uguale per tutti!

Sinora abbiamo parlato di un gas monoatomico di elio; e se ci fossero mescolate delle molecole di gas di massa diversa? Ricordiamo che, in un urto elastico, si mantengono sia la quantità di moto che l’energia cinetica, e concludiamo che anche in questa situazione l’energia cinetica media è costante. Conseguenza: le particelle più leggere saranno più veloci di quelle più pesanti, ma <mv²/2> è costante in tutta la massa del gas.

Ma allora, stiamo parlando di un parametro che ha le stesse caratteristiche della temperatura del gas! Conclusione logica: l’energia cinetica dei gas è collegata alla temperatura! Ferma un momento, e chiediamoci: cos’è la temperatura? Come la abbiamo definita?

Anzitutto, parliamo di gradi Kelvin; ebbene, questo modo di misura della temperatura ha di assoluto, nel senso fisico del termine, solo lo zero; per il resto, è una totalmente arbitraria suddivisione del fenomeno fisico che chiamiamo temperatura di un corpo, senza correlazione alla fisica che lo genera!

Vi sto dicendo che, se la definizione di grado centigrado, e poi grado Kelvin, fosse avvenuta dopo la scoperta della nostra legge, avremmo detto che la temperatura è l’energia cinetica media del gas, ed avremmo usato una definizione diversa per misurarla!

Conclusione: deve esistere un semplice rapporto tra la temperatura, in Kelvin, e l’energia cinetica media di un gas, in Joule. Questa relazione esiste, è stata misurata, e vale:

<mv²/2> = (3/2)∙k∙T

Il coefficiente 3/2 è di comodo; la costante k si chiama costante di Boltzmann, dal nome di Ludwig Boltzmann, che, nel 1870, ha studiato appunto la teoria cinetica dei gas. Il suo valore è k = 1,38∙10^-23 J: come si vede, un valore piccolissimo. La costante di Boltzmann è una delle sette costanti fondamentali del Sistema Internazionale: lega due mondi, quello macroscopico della temperatura a quello microscopico dell’energia media del gas!

Ciò stabilito, se ritorniamo alla nostra equazione, possiamo scriverla nel seguente modo:

P∙V = N∙k∙T

Eccoci arrivati: questa si chiama equazione di stato dei gas, e include le nostre tre leggi! Difatti:

A T costante, abbiamo la legge di Boyle: P∙V = costante (lo abbiamo già notato);
A P costante, abbiamo la legge di Charles: V(T) = V₀∙T/273;
A V costante, abbiamo la seconda legge di Gay-Lussac: P(T) = P₀∙T/273.

Difatti, ad esempio supponiamo di eseguire un esperimento a P costante. Alla temperatura T₀ = 273 K abbiamo:

P∙V₀ = N∙k∙T₀

Ed alla temperatura T:

P∙V = N∙k∙T

Se dividiamo i due membri delle eguaglianze abbiamo:

V/V₀ = T/T0;

V = V₀∙T/T₀= V₀∙T/273

Attenzione: la legge ci dice anche un’altra cosa, e cioè che una volta definiti P, V e T, il numero N di molecole del gas è costante, indipendentemente dal tipo di gas, e persino dal fatto che il gas sia composto di elementi diversi!

Ebbene, questo fatto, prima di Boltzmann, è stato scoperto dalla chimica. Il fenomeno di partenza è il seguente. Consideriamo, ad esempio, l’acqua: la sua formula chimica è H₂O: ogni molecola d’acqua contiene due atomi d’idrogeno ed uno di ossigeno.

Dovete sapere che l’idrogeno gassoso, a temperatura 20 °C e pressione 1 atmosfera, è legato in molecole, H₂; anche l’ossigeno esiste in molecole, O₂. Se vogliamo legare ossigeno e idrogeno, in quali proporzioni dobbiamo farlo?

Visto che i due gas esistono sotto forma di molecole, dobbiamo realizzare la seguente reazione:

2∙H₂ + O₂ = 2∙H₂O

Il riferimento è la tavola periodica di Mendeleev, dove scopriamo che l’idrogeno ha peso atomico (quasi) 1, e l’ossigeno (quasi) 16. Allora, per generare dell’acqua dobbiamo prendere 4 grammi di H₂ + 32 grammi di O₂. Il risultato sarà 36 grammi di H₂O.

Ebbene, cominciamo a prendere 4 grammi di H₂: diciamo che il suo volume è 2∙V. Prendiamo 32 grammi di O₂: scopriamo che il suo volume è V! Combiniamo i due gas (non fatelo! La reazione è esplosiva!) Sapete qual è il risultato? Il volume del vapore acqueo è 2V! Come si spiega?

La spiegazione è sbalorditiva, ed è stata stabilita da Amedeo Avogadro, che nel 1811 pubblicò il risultato del suo lavoro e formulò quella che è stata chiamata “legge di Avogadro”:

“Quantità uguali di gas diversi, nelle stesse condizioni di pressione e temperatura, contengono lo stesso numero di molecole”.

Il passo successivo dei chimici è stato stabilire di chiamare “mole” il numero di atomi contenuti in 12 grammi di carbonio-12: il numero di atomi, numero di Avogadro, è:

N = 6,02214076 x 10²³

Questo numero è la settima costante del SI. Oggi la definizione di mole è stata ribaltata, ed è la seguente: “Una mole di una sostanza è la quantità che contiene 6,02214076 x 10²³ entità fondamentali (atomi o molecole). Per completezza, il volume di una mole di gas, a 273 K e a 101,325 kPa (1 atmosfera) è di 22,414 l.

La definizione di mole ci consente di avere una quantità ben definita di gas, quindi, l’equazione di stato dei gas, ad uso dei chimici, è modificata come segue:

P∙V = n∙R∙T

Dove n è il rapporto tra il peso del gas ed il peso della mole dello stesso gas, ed

R = N∙k = 8,317 J/(n∙K)

È la costante usata in chimica invece di k. Da questa relazione, i chimici calcolano le quantità di sostanza da combinare per le loro reazioni.

Fantastico! Abbiamo ottenuto le leggi macroscopiche dei gas a partire dalla loro composizione atomica!