Newton ha combinato anche questa

Nell’articolo precedente vi ho lasciato con la domanda: dato il diagramma dell’accelerazione, come posso ricostruire il diagramma della velocità e dello spazio percorso?

Notate bene che noi conosciamo già il risultato: sono i nostri diagrammi di partenza! Però, dobbiamo ricostruirli; come fare?

Partiamo dal diagramma della accelerazione: si tratta di ricostruire anzitutto il diagramma della velocità. Come ragioniamo? Come ragionò Newton?

Noi, che ormai sappiamo tutto delle derivate, capiamo che qui si tratta di fare una operazione opposta: quale? Come?

Guardiamo il diagramma: è diviso in tre parti. Nella prima, da 0P1, abbiamo accelerato a 0,5 m/s2per 60 s; nella seconda, da P1P2, l’accelerazione è stata nulla; nella terza, da P2F, l’accelerazione è stata – 1 m/s2. A questo punto, l’unica cosa certa è che tra P1P2 la velocità non è cambiata, perché l’accelerazione è zero: questo significa che l’auto ha raggiunto una certa velocità in P1 e ha continuato con quella velocità sino a P2. OK, ma quale velocità ha raggiunto? Usiamo il nostro laboratorio mentale: ragioniamo. A questo scopo, consideriamo solo il tratto tra 0P1.

Noi abbiamo definito l’accelerazione media come il rapporto tra la velocità raggiunta ed il tempo necessario per raggiungerla:

am= v / t

Ma allora, è anche vero che:

v = am∙t

Poiché la nostra accelerazione è costante, e pari a 0,5 m/s2, questo significa che la formula qui sopra ci consente di calcolare la velocità v, che cambia di continuo al variare di t. Per sottolineare questa variazione continua, scrivo v(t) (si legge vu di t; significa che v dipende da t) invece di v:

v(t) = am∙t

Se guardiamo il diagramma, questo prodotto è semplicemente l’area del rettangolo compreso tra t! Quindi, abbiamo, ad esempio:

v(0) = 0,5 ∙ 0 = 0 ; v(1) = 0,5 ∙ 1 = 0,5 m/s ; v(10) = 0,5 ∙ 10 = 5 m/s ; v(30) = 0,5 ∙ 30 = 15 m/s ; v(60) = 0,5 ∙ 60 = 30 m/s.

Quindi, alla fine dell’accelerazione, siamo arrivati a 30 m/s: corrisponde a quanto sapevamo! Continuando sul nostro diagramma, nel tratto da P1 P2 manteniamo la velocità di 30 m/s; e nell’ultimo tratto? Eccolo.

Attenzione: nell’ultimo tratto dobbiamo considerare che il tempo della decelerazione parte da 130 s: è quanto ho indicato in rosso. Allora: quale sarà la formula che ci consente di calcolare la velocità? Attenti: nel primo tratto siamo partiti da una velocità nulla; qui, invece, partiamo da 30 m/s! E allora? Allora, ecco la formula:

v(t) = v(130) + a ∙ (t – 130)

Dove: v(t) è la velocità dopo 130 s; v(130) (uguale a 30 m/s) è la velocità che avevamo ai 130 s; a è l’accelerazione in questo tratto (negativa: – 1 m/s2); (t – 130) è il tempo oltre i 130 s. In effetti, la formula è la stessa del tratto 0-P1(l’accelerazione iniziale), che nella forma più generale si scrive v(t) = v(0) + a ∙ t, dove, per il tratto iniziale,  v(0) vale zero! 

 Calcoliamo alcuni valori di v:

v(130) = 30 m/s; v(131) = 30 – 1∙1= 129 m/s; v(135) = 30 – 1∙5 = 25 m/s; v(145) = 30 – 1∙15 = 15  m/s; v(160) = 30 – 1∙30 = 0  m/s. Quindi, a 160 s siamo fermi; giusto! Ecco spiegato il diagramma delle velocità!

Infine, calcoliamo lo spazio percorso. Allora, abbiamo detto che la velocità media è 

vm= s / t. Anche per lo spazio, possiamo dire che s = vm ∙ t; però, attenzione! C’è una grossa differenza rispetto al calcolo della velocità a partire dall’accelerazione! E qual è questa differenza? Bravi: il fatto che a era costante, mentre vm cambia di continuo! Come ce la caviamo?

Cominciamo dalla fase di accelerazione: la velocità aumenta costantemente, in proporzione al tempo. Per calcolare lo spazio percorso, armiamoci di pazienza. Supponiamo di dividere il tempo in intervalli di 5 s. 

Per ognuno degli intervalli calcoliamo la velocità media e disegniamo un trattino orizzontale che ne rappresenta il valore. 

Invece di una linea continua abbiamo una scalinata, formata da una serie di rettangolini accostati, che hanno per base l’intervallo di 5s e per altezza la velocità media dell’intervallo. 

Consideriamo il primo gradino: la sua velocità media (ripeto, del gradino), è la metà di quella raggiunta dopo 5 s; quindi: v = a ∙ t / 2= 0,5 ∙ 5 / 2 = 1,25 m/s. Durante questo tempo, quando spazio abbiamo percorso? Beh: s = vm∙ t= 1,25 ∙5 = 7,5 m.

E nel tratto tra 5 e 10 s, quanto è lo spazio percorso? Sono ancora 5 s, ma la velocità media è ora la media tra v(5) e v(10); quindi: vm= (2,5 + 5)/2 = 3,75 m/s. E lo spazio percorso? Vale 3,75 ∙ 5 = 18,75 m. 

Ora appare chiaro che lo spazio, per ogni gradino, è anche l’area del rettangolino compreso fra l’asse del tempo e il valore medio della velocità! Inoltre, capite bene che, continuando con questo sistema, alla fine la somma dell’area di tutti i rettangolini è lo spazio percorso, salvo qualche errore. Quindi, lo spazio totale così calcolato è, quasi, l’area del triangolo formato dall’asse del tempo e dal grafico della velocità! 

Riassumiamo: abbiamo diviso il nostro intervallo di tempo T= 60 s in N= 12 parti: chiamiamo Δt (si legge “delta ti”: il simbolo Δ è la lettera greca delta maiuscola, che ricorda la differenza tra due valori vicini) questo intervallo di tempo. Consideriamo poi il numero n del gradino: n varia da 1 a 12; la velocità media corrispondente, che possiamo calcolare, la chiamiamo v(n). Matematicamente, scriviamo:

La formula si legge: lo spazio s è quasi uguale (il simbolo ≈ ha questo significato) alla sommatoria, per tutti i valori di n compresi tra 1 e N(12), del prodotto della velocità media v(n) relativa all’elemento n, moltiplicata per Δt.

Dopo aver capito questo fatto, Newton ha fatto un’operazione analoga a quella fatta per le derivate; cioè, si è detto: ma se io aumento N all’infinito, cioè se faccio diventare piccolissimi gli intervalli di tempo Δt = T/n, cosa ottengo? Ottengo esattamente l’area del triangolo! Matematicamente, si scrive:

La seconda parte, che graficamente ricorda una esse allungata, dove s sta, appunto, per sommatoria, si legge: “integrale, per t che varia tra zero e t maiuscolo, di v di ti per de ti”.

Ripeto: passando al limite, la sommatoria diventa qualcosa di esatto: appunto, un integrale. E quale è il valore dell’integrale? Beh, siamo capaci di calcolare l’area di un triangolo!

La base del triangolo è T(60 s); la sua altezza è 30 m/s: l’area è 1/2∙60∙30 = 900 m! Guardate un poco il diagramma della prima parte dello spazio: corrisponde!

Due altre domande: e se volessimo conoscere lo spazio percorso al tempo t? Sarebbe sempre l’area del triangolo tra 0 e t; quindi:

s(t) = ½ ∙ v(t) ∙ t

Però, attenzione: v(t) dipende dalla accelerazione, e vale:

v(t) = a ∙ t

Quindi, in conclusione:

s(t) = ½ ∙ a ∙ t2

Ebbene, Newton già sapeva, da Galileo, che un corpo che cade, quindi con accelerazione costante, percorre uno spazio proporzionale al quadrato del tempo trascorso! Tombola!

Ora consideriamo il secondo tratto, quello a velocità costante: ecco il diagramma. Abbiamo appena calcolato che, dopo 60 s di accelerazione, in P1 abbiamo percorso 900 m; e poi? Dove siamo arrivati nel punto t?

Poiché dopo P1 andiamo alla velocità costante di 30 m/s: a partire da P1 lo spazio percorso è

s = v ∙ (t – 60)

 Ma in P1 abbiamo già percorso 900 m; quindi, tra P1P2 lo spazio è:

s(t) = 900 + 30 (t – 60)

In formule, se chiamiamo s1 lo spazio percorso in P1, v1 la velocità in P1t1 il tempo in P1, possiamo scrivere:

s(t) = s1 + v1∙ (t – t1)

E nell’ultimo tratto? Ultimo sforzo!

Cosa succede tra P2e F? Qual è la formula del movimento? Anche nell’ultimo tratto dobbiamo considerare lo spazio precedente e, se chiamiamo s2 lo spazio percorso in P2, v2 la velocità in P2t2 il tempo in P2, possiamo scrivere:

s(t) = s2 + v2∙ (t – t2) + ½ ∙ a ∙ (t – t2)2

Ecco fatto: questa è la formula del caso più generale, quando consideriamo un punto che ha percorso lo spazio s2 ed ha una velocità v2 dopo un tempo t2.

Spero che siate stanchi, ma soddisfatti. Mi avete seguito sino a capire i due mattoni fondamentali dell’analisi matematica: le derivate e gli integrali!!! Capirete anche che c’è tanto ancora da dire: però, per i nostri scopi di capire la fisica dei fenomeni e le leggi che le governano, ci fermiamo qui.  Ritornando alla fisica, riscriviamo il secondo principio della dinamica:

F = m ∙ a; da cui:

a = F / m; e quindi:

F / m = d2s/dt2 Ecco perché Newton ha dovuto creare l’analisi: per rispondere, appunto, alla domanda: come si passa dall’accelerazione alla velocità raggiunta ed allo spazio percorso?

Comunicare nello spazio

Abbiamo avuto modo di vedere che la scienza della comunicazione è molto più articolato e complesso di quello che si potrebbe credere ad una prima considerazione superficiale.

Tra le diverse discipline interessate in questo ambito troviamo la prossemica. Non è una disciplina facile da descrivere dal momento che ha un raggio d’azione molto ampio. Prima di tutto dobbiamo considerare il fatto che si tratta di una disciplina semiologia, ovvero che studia i segni.

Una breve parentesi è d’obbligo a questo punto. Cosa sono i segni? Molto semplicemente possono essere considerati oggetti o azioni che rimandano a qualcos’altro un esempio molto pratico: una luce rossa smette di essere una manifestazione luminosa di un determinato colore ma può diventare il segno di stop se la troviamo in un semaforo o di pericoli se è abbinata ad una sirena.

La prossemica studia il significato del segno in ambiti ben specifici: i gesti, i comportamenti, lo spazio e le distanze che si vengono a creare durante un possibile evento comunicativo. Arrivati a questo punto della nostra ricerca, sappiamo già che la comunicazione può essere sia verbale sia non verbale.

Uno dei padri della prossemica è indubbiamente Edward T. Hall che nel 1963 ha coniato questo nome prendendo in prestito dal latino la parola proximitas (che significa prossimità) mentre dall’inglese ha preso il suffisso emics che esprime il concetto di tutto ciò che è legato a qualcosa e che coinvolge un’analisi di fenomeni culturali. Proxemics (la parola inglese per prossemica) studia le relazioni di prossimità (o vicinanza) nella comunicazione.

L’antropologo statunitense Edward T. Hall ha individuato quattro zone ben specifiche che vengono solitamente occupate in modo diverso a secondo di condizioni ben specifiche che si hanno quando comunichiamo. Gli studi di Hall hanno permesso anche di misurare queste zone.

Vediamo nel concreto quali sono e cosa rappresentano:

  • la zona intima
    le persone che interagiscono in queste zona si trovano ad una distanza tra i 0 e i 45 cm.
  • la zona personale
    interessa coloro che hanno un’interazione amichevole e si possono considerare, scusando la ripetizione, amici; la distanza che si crea in questo caso varia tra i 45 e 120 cm.
  • la zona sociale
    questa terza zona è quella tipica durante la comunicazione tra conoscenti e che possiamo trovare in una situazione simile a quella della scuola in cui si viene a creare una conversazione tra insegnante e studente; la zona può avere una misura che varia da 1 metro sino a 5 metri.
  • la zona pubblica
    in questo caso abbiamo a che fare con relazioni pubbliche dove qualsiasi aspetto personale è quasi annullato, è la zona delle comunicazioni di circostanza e rappresentanza; questa zona ha una misura che non è inferiore ai 3 metri e può superare i 5.

Edward Hall ha presentato la sua teoria nel libro La dimensione nascosta del 1966, che in Italia è uscito con un’interessante prefazione di Umberto Eco. Oggi è un libro introvabile, presente solo su internet con prezzi decisamente importanti.

Nel libro si chiarisce molto bene che la prossemica non è da considerarsi solo una scienza ma è essa stessa un linguaggio, e come tale è soggetta a variazioni in base ai luoghi e alle rispettive culture. Queste ultime, infatti, hanno una forte influenza sull’essere umano (ovviamente) e sulla sua percezione della zona di conforto.

Geograficamente, Hall ha notato che i popoli del Nord America e dell’Europa settentrionale sono soliti aumentare le distanze rispetto alle culture mediterranee e meridionali. Lo stesso lo possiamo notare facilmente anche tra le persone del Nord e Sud Italia. Chi è del Nord (in generale, non solo quello italiano) non tollerano facilmente una minor distanza e il contatto fisico tra conoscenti come avviene più facilmente, invece, nelle aree del Sud. Anche il trovarsi in zona di campagna piuttosto che montana influisce sulla distanza tra interlocutori; in queste zone si tende a tenere distanze maggiori rispetto a quanto avviene in città; questa differenza non si deve alla geografia ma alle condizioni, in città se si rimane troppo distanti si corre il rischio di non potersi sentire e di essere divisi dal passare frenetico delle persone. Hall riporta anche l’esempio delle discoteche, dove le distanze si devono accorciare in modo molto evidente se si vuol riuscire a comunicare.

Anche la luce ha una certa influenza sulla variazione delle distanze. Lo studioso americano, nel suo libro, ci spiega come al buio si è soliti ridurre le distanze mentre con la luce piena queste aumentano sensibilmente.

Un luogo molto interessante per studiare le reazioni e i comportamenti umani è l’ascensore. Edward Hall ha studiato il caso e nel suo libro descrive gli atteggiamenti diversi in questo luogo ristretto tra europei e americani. I primi tendono, spazio permettendo, a mettersi in cerchio con la schiena appoggiata alle pareti mentre gli americani sono soliti mettersi in fila con la faccia rivolta alla porta. Lo studio si è rivolto anche ad un luogo ben più ampio: l’India. La società di questa nazione si basa sulle diverse caste sociali; i paria, coloro che si trovano al livello più basso della società, nel caso incontrino un rappresentante della casta più alta (un bramino) devono tenersi ad una distanza di almeno 39 metri.

La prossemica ha individuato anche comportamenti diversi tra donne e uomini. Tendenzialmente, una donna occupa lo spazio di fronte all’altra persona, mentre gli uomini si posizionano più di lato.

Interessante è la reazione che si registra quando qualcuno vìola lo spazio che in base alla zona geografia o culturale viene considerato “adatto”: senza distinzione di cultura e genere chiunque tende ad allontanarsi, dirige il proprio corpo da un’altra parte o tende a mettere una barriera (come se fosse una protezione), sia essa una semplice borsa, un giornale o le braccia conserte.

Cosa combinò Newton

Premessa
Questo articolo mi fa tremare i polsi: ho la pretesa di riassumere in un breve articolo almeno un anno di matematica del liceo, ed il pensiero del grande Newton! Vediamo cosa riesco a fare.

Vi ho parlato di spazio, velocità, accelerazione: però, ho parlato solo di velocità ed accelerazione media. La vostra obiezione è: mentre accelero l’auto, il tachimetro mi indica ad ogni momento la velocità a cui sto andando. Alla fine dell’accelerazione, la velocità raggiunta non è la velocità media: cosa misura il tachimetro?

Per rispondervi, riprendiamo il diagramma dello spazio percorso. Sono evidenti tre tratti: da 0P1 l’auto accelera; da P1P2 procede a velocità costante; da P2F decelera. In ed in F l’auto è ferma. Attenzione; le coordinate sono tempo (in secondi) e spazio (in metri).

Consideriamo ora solo il tratto tra 0P1. Abbiamo detto che la velocità media è lo spazio percorso (nel diagramma, 900 m) diviso il tempo impiegato a percorrerlo (60 s).

Considerate la linea rossa che ho sovrapposto al diagramma: se fosse il diagramma del vostro spostamento, quale sarebbe la sua velocità media? Ovviamente, la stessa: qualunque sia il movimento tra 0P1, la velocità media non cambia! Questo perché nella media intervengono solo due valori, 0P1; quello che succede in mezzo non cambia la media.

Bene: ora, considerate i due tratti verdi: rappresentano il caso in cui siete andati a 225/30 = 7,5 m/s per 30 s, e poi a 675/30 = 22,5 m/s per gli altri 30 s. In ciascuno di questi tratti si parla sempre di velocità media, che dipende solo dagli estremi. Cosa succede se consideriamo tratti sempre più piccoli, cioè se consideriamo intervalli di tempo sempre più vicini? 

Per chiarezza, ho disegnato in arancione un tratto di 5 s e ne ho calcolato la velocità media. Possiamo ripetere l’operazione con intervalli di tempo sempre più piccoli. Succedono due cose:la linea spezzata corrisponde sempre di più alla linea blu continuala velocità  media calcolata in questi intervalli si avvicina sempre di più alla velocità istantanea indicata dal tachimetro!

Ecco il capolavoro di Newton: inventare una definizione esatta per la velocità istante per istante di un oggetto in movimento, che è la seguente:

La velocità istantanea di un corpo, in un punto P del suo movimento, è il limite del rapporto tra lo spazio percorso a partire da P ed il tempo impiegato a precorrerlo, quando il tempo diventa sempre più piccolo (in matematica, si dice che tende a zero): questo limite si chiama derivata della curva nel punto P. Matematicamente, seguendo la notazione di Leibnitz, si dice che:

dove dtindica un intervallo di tempo prossimo a zero, e dsè il corrispondente spazio percorso, a partire dal punto P in cui misuriamo la velocità. La formula si legge: la velocità vè il limite del rapporto dsdiviso dt, quando dttende a zero.

Siete riusciti a seguirmi? Bravissimi! Siete più bravi voi di me, che vi spiego!

Facciamo un altro passo.

Se applichiamo la definizione al tratto rosso rettilineo, cosa troveremo? Troveremo che la velocità è costante su tutto il tratto! Infatti, nel disegno, i rapporti b/a e d/c, che esprimono la velocità, sono uguali perché appartengono a triangoli simili

Inoltre, poiché b/a = d/c è la pendenza della retta, possiamo dire che la velocità in P è la pendenza della retta. 

E per il tratto curvilineo? Nel disegno a fianco è evidente che, nella curva, il rapporto a/b è diverso dal rapporto c/d: quindi, per conoscere la velocità nel punto P, occorre considerare il limite di questo rapporto.

Man mano che il segmento PP1 diventa più corto, avvicinando P1 a P, la retta diventa la tangente alla curva nel punto P. Quindi, si può concludere che la velocità istantanea in P è la pendenza della tangente alla curva, nel punto P scelto.

Ebbene, se tracciamo il diagramma della velocità dell’auto, cioè delle pendenze della curva spazio – tempo, scopriamo che la velocità istantanea, nel nostro caso, è aumentata in proporzione al tempo; ha raggiunto il suo valore massimo, e poi è diminuita, sempre in proporzione del tempo, sino a zero. Ripeto: questo diagramma è giusto solo perché la nostra automobile ha accelerato e decelerato costantemente: con accelerazioni diverse, i diagrammi della velocità (e dello spazio) rispetto al tempo sarebbero diversi.

Ora dobbiamo chiederci: e quale sarà il diagramma dell’accelerazione nel tempo?

Poiché sappiamo che l’accelerazione media è la variazione della velocità nel tempo considerato, possiamo concludere che l’accelerazione, istante per istante, è la derivata della velocità:

Poiché la derivata di una retta è un valore costante, il diagramma dell’accelerazione è quello della figura. Il tratto 0-P1ha accelerazione costante (0,5 m/s2); il tratto P1-P2ha accelerazione nulla (non cambia la velocità); Il tratto P2-F ha anch’esso accelerazione costante (-1 m/s2).

Ma poiché abbiamo visto che

ne consegue che l’accelerazione, rispetto allo spazio, è la derivata della derivata dello spazio rispetto al tempo! Matematicamente, la formula diventa:

E si legge: “l’accelerazione a è la derivata seconda dello spazio rispetto al tempo”.

Chiaro? Bello? Speravo di dirvi tutto in questo articolo, ma è proprio impossibile. Voi direte: cosa c’è d’altro? C’è che devo rispondere all’altra domanda: abbiamo visto come si passa dal diagramma spaziale a quello della velocità ed a quello dell’accelerazione; come si passa, viceversa, dall’accelerazione alla velocità ed allo spazio percorso? È ciò che vi spiegherò nel prossimo articolo. Forza e coraggio!