Eureka e il nudo

Cosa vi ricorda questo titolo? Ma certo: è il grande matematico e fisico Archimede di Siracusa! E perché andava in giro nudo?

La storia comincia con un problema che gli aveva posto il tiranno di Siracusa, Gerone: siamo attorno al 230 a.C. Il tiranno aveva ricevuto una corona d’oro zecchino; o almeno, ciò era quanto affermava l’orefice che l’aveva realizzata. Gerone, non fidandosi, chiese ad Archimede di verificare se la corona fosse veramente d’oro: però, senza danneggiarla. Come fare?

Archimede stava facendo un bagno e rimuginava sul quesito. Ad un tratto, si rese conto che, essendo immerso nell’acqua, l’acqua che spostava lo spingeva verso l’alto: più si immergeva, più aumentava la spinta. All’improvviso, eureka: aveva scoperto il principio che porta il suo nome, e che dice:

Un corpo immerso in un fluido riceve una spinta verso l’alto pari al peso del liquido spostato.

Come ogni buon scienziato degno del suo nome, Archimede ha perso la cognizione del fatto che era nudo nella vasca da bagno, e si è messo a gridare eureka, evviva, in giro per le strade!

Precisiamo che cosa aveva scoperto Archimede. Quando entro nell’acqua, diciamo in una vasca da bagno, il mio corpo sposta una certa quantità d’acqua: quanta? Beh, per sapere quanta è sufficiente segnare il livello raggiunto dall’acqua mentre siete dentro la vasca, e confrontarlo col livello dell’acqua prima di entrare: la differenza dei livelli, moltiplicata per la superficie della vasca, vi dà il volume dell’acqua spostata. Approfondiamo un attimo il discorso. 

Domanda: quanta massa d’acqua avete spostato? Se ricordate il mio terzo articolo, intitolato “Massa e peso”, ricorderete che, per nostra fortuna, la densità dell’acqua è un chilo per decimetro cubo (grazie, padri fondatori del sistema metrico decimale!). Quindi, come unità di misura, scegliamo le seguenti: differenza di livello: dm; superficie: dm x dm, o anche dm2; volume: dm x dm x dm, o anche dm3. Poiché un litro ha il volume di 1 dm3, e la massa di un litro d’acqua è un chilogrammo, il volume in dm3è anche la massa in kg dell’acqua spostata!

Se spostate, ad esempio, 50 dm3d’acqua, avete spostato 50 kg! E questi 50 kg d’acqua, cosa fanno? A loro volta, vi spingono verso l’alto, con una forza pari alla massa spostata: ecco perché nell’acqua ci si sente più leggeri.

Scusatemi, ma mi scappa di citarvi una curiosità. Come si allenano gli astronauti alla mancanza di peso? Ebbene, si vestono con uno speciale scafandro, e si immergono in una piscina dove la densità del liquido è tale da compensare esattamente il loro peso, scafandro incluso!

Ecco un astronauta nella piscina, assistito dai sub: sullo sfondo, la simulazione della Stazione Spaziale Internazionale.

Ritorniamo ad Archimede: come poteva usare la sua scoperta per risolvere il problema di Gerone? Andiamo adagio, e pensiamo: ogni sostanza (compatta) ha una massa proporzionale al suo volume; quindi, a pari massa, sposterà sempre la stessa quantità d’acqua, indipendentemente dalla sua forma! Da questa proprietà deriva la definizione di densità di una sostanza: è il rapporto tra la massa della sostanza ed il volume occupato. L’unità di misura SI è kg/m3; quella che usiamo normalmente è kg/dm3.

Altra premessa: la densità dell’oro è superiore a quella dei metalli con cui viene legato: ad esempio, mentre l’oro ha una densità di 19,3 kg/dm3, l’argento ed il rame, cioè i metalli usati per legare l’oro, e quindi ridurre la quantità d’oro in un gioiello, hanno densità rispettivamente di 10,5 e 8,9 kg/dm3. Quindi, la densità di un gioiello fatto di oro e argento sarà minore di quella di un gioiello fatto di oro puro.

Ed ecco l’idea di Archimede: due oggetti di oro puro dello stesso peso devono rimanere in equilibrio su due rami di una bilancia, sia se sono fuori dall’acqua che se sono immersi nell’acqua. Allora, Archimede si mette in azione.

Anzitutto, pesa la corona. Poi si fa preparare un cilindro d’oro puro, con lo stesso peso della corona.

Sospesi i due pesi sui due bracci di una bilancia, li porta in equilibrio: i due oggetti hanno la stessa massa!

Ora abbassa la bilancia, ed immerge completamente entrambi gli oggetti nell’acqua: cosa succede? Purtroppo per l’orefice, succede che la bilancia non mantiene l’equilibrio, e pende dal lato del cilindro d’oro puro! Questo significa che, in effetti, la densità della corona è minore (quindi, il suo volume è maggiore) rispetto a quella del cilindro di oro puro; quindi, la corona era fatta di oro legato! Trionfo di Archimede, ma Gerone fece uccidere l’orafo!

Avete ben capito il principio di Archimede? Cosa dice? Dice che un corpo immerso in un fluido riceve una spinta pari al peso del fluido spostato. Occhio alla parola “fluido” invece di “liquido”, e quindi un quesito: 1 kg di piume ha una massa superiore a quella di 1 kg di ferro? (Normalmente si chiede: pesa di più 1 kg di piume od 1 kg di ferro, e la risposta è che i pesi sono uguali).

Beh, se ve lo domando c’è un motivo: pensiamo. Quando diciamo che sia il ferro che le piume hanno massa di 1 kg è perché li abbiamo appoggiati su una bilancia, che ci ha indicato 1 kg per entrambi: quindi, hanno la stessa massa! 

Allora, ripeto la domanda: la massa del ferro è uguale alla massa delle piume? Pensiamo un attimo. Alla superficie della Terra c’è l’atmosfera: una miscela di gas, che è un fluido, con una densità di (arrotondiamo) 1 g/dm3: piccola, ma non nulla. Conseguenza: quando misuriamo le masse, il ferro, molto denso, riceve dall’atmosfera una piccola spinta verso l’alto: circa 0,15 g; le piume, molto meno dense del ferro, e quindi con un volume molto superiore, ricevono dall’aria una spinta superiore: circa 20 g. Quindi, la massa delle piume è superiore a quella del ferro

Per convincercene, occorre ripetere le pesate usando una bilancia messa sotto una campana a cui è stata tolta l’aria. Però, attenzione: in questa condizione, anche il peso delle piume è superiore a quello del ferro!

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