Newton – Clio

Sale e scende la marea…

Cosa mostrano queste due foto? Un famoso monastero, Mont Saint Michel, in Francia: nella foto a sinistra è un’isola; in quella a destra è raggiungibile con una strada.

Immagino che lo conosciate, e che sappiate cosa lo rende alternativamente isola e terraferma: è la marea, che, periodicamente, sale e scende, coprendo un dislivello di ben 14 metri: una cosa ignota nel Mediterraneo, che rende pericoloso passeggiare sulla sabbia (ci sono anche le sabbie mobili). Ma vi siete mai chiesti chi muove così tanto il mare; in altre parole, come si spiegano le maree?

Guardate che la domanda non è banale: gli antichi non riuscivano a raccapezzarsi, e persino Galileo, che ha studiato il fenomeno, ne ha dato una interpretazione sbagliata!

Il primo a capire la dinamica del fenomeno è stato il grande Isaac Newton: nel suo capolavoro, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, pubblicato nel 1686, Newton spiegava il perché della marea. La spiegazione definitiva è stata data a fine 1800 da George Darwin, figlio di Charles Darwin. Vediamo la spiegazione.

Anzitutto, descriviamo meglio il fenomeno: il mare s’innalza, rispetto al livello medio, due volte al giorno; quindi, sia sulla parte della Terra più vicina alla Luna, che sulla superficie opposta! Ebbene, mentre si può pensare che l’acqua, come liquido, possa risentire dell’attrazione lunare, e sollevarsi, il fatto che l’acqua si sollevi anche dalla parte opposta è difficile da capire: sulla parte opposta dovrebbe esserci il minimo di marea, non un secondo massimo; dovrebbe esserci una marea al giorno, e non due! E allora, cosa ha capito Newton?

Ecco un disegno schematico della situazione. La Terra subisce quattro forze: l’attrazione del Sole e la forza centrifuga dal Sole; l’attrazione della Luna e, notate bene, la forza centrifuga causata dalla rotazione della Terra attorno al centro di massa del sistema Terra – Luna. Approfondiamo questo ultimo discorso.

Normalmente si dice che la Luna gira attorno alla Terra, così come si dice che i pianeti girano attorno al Sole, ma non è esattamente così.

In effetti, due corpi celesti che si attraggono si muovono entrambi attorno a quello che è il centro di massa. Per capire di cosa si tratta, domanda: se i due corpi che si attraggono avessero la stessa massa, cosa succederebbe? Si muoverebbero entrambi attorno al punto equidistante dai centri delle due masse!

Ma allora, non è corretto dire che i pianeti girano attorno al Sole? Si, non è corretto: il Sole non è immobile, inchiodato nello spazio! Si dice che i pianeti girano attorno al Sole perché il Sole ha una massa molto superiore a quella dei pianeti; però, la realtà è che anche il Sole si muove a causa del moto dei pianeti. E per il sistema terra – Luna, cosa succede?

Succede che, date le masse della Terra e della Luna e le loro distanze, il baricentro del sistema si trova a 4641 km dal centro della Terra, (quindi, dentro alla Terra), e che entrambi, sia la Terra che la Luna, girano attorno al baricentro, percorrendo un giro completo nei 28 giorni della rivoluzione lunare! Scommetto che non lo sapevate. Ma allora, se le cose stanno così, sulla Terra si sviluppa una reazione centrifuga a questa rotazione!

Normalmente si rappresenta la Terra come un punto, situato al suo centro. Però la Terra non è un punto: con un raggio di circa 6.370 km (pari a 6,37 ∙ 10⁶ m), ha una certa estensione. Di conseguenza, il valore dell’attrazione gravitazionale lunare cambia un poco lungo la sua superficie: è massima nel punto più vicino alla Luna; minima nel punto più lontano.

Quindi, torniamo a noi e parliamo di queste quattro forze, due solari e due lunari. Iniziamo dalla forza di gravità del Sole: dato che la distanza media dal Sole è di 1,5 ∙ 10¹¹ m, la variazione di distanza tra le superfici vicina e lontana dal Sole è piccola: in prima approssimazione, possiamo dire che la sua forza di attrazione è costante su tutta la superficie terrestre (in effetti, esiste anche una, visibile, marea solare).

E le altre due forze? Diamo un’occhiata al disegno schematico.

Partiamo dai poli: le due forze, attrazione lunare e forza centrifuga, si compongono e danno una risultante ortogonale alla superficie terrestre: l’acqua viene schiacciata verso il centro; è la causa della bassa marea.

Andiamo ora sulla superficie più vicina alla Luna: qui l’attrazione gravitazionale della Luna è massima, mentre è minima la forza centrifuga; risultato: alta marea.

Andiamo infine sulla superficie più lontana dalla Luna: qui l’attrazione gravitazionale della Luna è minima, mentre è massima la forza centrifuga; risultato: alta marea.

Riuscite ad immaginare l’enorme energia necessaria per alzare le masse d’acqua degli oceani? Secondo voi, anche la parte solida della Terra è completamente immune da movimenti elastici?

La realtà è che la Terra si muove per queste forze. Ora, vi anticipo un concetto: ogni movimento di masse implica un consumo di energia e, poiché l’energia non si crea dal nulla, ci deve essere qualcosa che fornisce questa energia. E sapete cos’è? È la Luna; questa dissipazione di energia la fa rallentare; ciò che causa il suo lento allontanamento dalla Terra. Stiamo parlando di 3,8 cm di allontanamento all’anno. Poco? La Terra si è formata circa 4,5 miliardi di anni fa; all’inizio, la Luna era a circa la metà della distanza attuale!

E la Terra? Anche la Terra perde energia, e rallenta; di pochissimo (18 μs/anno), ma è una quantità misurabile.

Ultima considerazione: vi ho detto che la Terra è una sfera, ma anche che è (leggermente) plastica; e allora? Allora, la Terra non ha una forma sferica: la forza centrifuga dovuta alla rotazione attorno al suo asse la ha allargata all’equatore: è uno sferoide.

L’equatore misura 12.756 km; il meridiano invece misura 12.713 km. Newton aveva capito questo fatto; però, secondo Cartesio la forma doveva essere opposta, tipo un’anguria, allungata sull’asse di rotazione.

Per dirimere la questione, a metà settecento l’Accademia delle Scienze di Parigi realizzò una spedizione verso l’Artide, che confermò lo schiacciamento ai poli.

Voltaire era un grande ammiratore di Newton; il suo commento fu:

«Vous avez confirmé, dans ces lieux pleins d’ennuis, ce que Newton connut sans sortir de chez lui». E cioè: Voi avete confermato, in quei luoghi pieni di problemi, ciò che Newton sapeva senza uscire di casa».

In altre parole, la mente supera la bruta materia!

Newton ha combinato anche questa

Nell’articolo precedente vi ho lasciato con la domanda: dato il diagramma dell’accelerazione, come posso ricostruire il diagramma della velocità e dello spazio percorso?

Notate bene che noi conosciamo già il risultato: sono i nostri diagrammi di partenza! Però, dobbiamo ricostruirli; come fare?

Partiamo dal diagramma della accelerazione: si tratta di ricostruire anzitutto il diagramma della velocità. Come ragioniamo? Come ragionò Newton?

Noi, che ormai sappiamo tutto delle derivate, capiamo che qui si tratta di fare una operazione opposta: quale? Come?

Guardiamo il diagramma: è diviso in tre parti. Nella prima, da 0 a P₁, abbiamo accelerato a 0,5 m/s²per 60 s; nella seconda, da P₁ a P₂, l’accelerazione è stata nulla; nella terza, da P₂ a F, l’accelerazione è stata – 1 m/s². A questo punto, l’unica cosa certa è che tra P₁ e P₂ la velocità non è cambiata, perché l’accelerazione è zero: questo significa che l’auto ha raggiunto una certa velocità in P₁ e ha continuato con quella velocità sino a P₂. OK, ma quale velocità ha raggiunto? Usiamo il nostro laboratorio mentale: ragioniamo. A questo scopo, consideriamo solo il tratto tra 0 e P₁.

Noi abbiamo definito l’accelerazione media come il rapporto tra la velocità raggiunta ed il tempo necessario per raggiungerla:

a_m= v / t

Ma allora, è anche vero che:

v = a_m∙t

Poiché la nostra accelerazione è costante, e pari a 0,5 m/s², questo significa che la formula qui sopra ci consente di calcolare la velocità v, che cambia di continuo al variare di t. Per sottolineare questa variazione continua, scrivo v(t) (si legge vu di t; significa che v dipende da t) invece di v:

v(t) = a_m∙t

Se guardiamo il diagramma, questo prodotto è semplicemente l’area del rettangolo compreso tra 0 e t! Quindi, abbiamo, ad esempio:

v(0) = 0,5 ∙ 0 = 0 ; v(1) = 0,5 ∙ 1 = 0,5 m/s ; v(10) = 0,5 ∙ 10 = 5 m/s ; v(30) = 0,5 ∙ 30 = 15 m/s ; v(60) = 0,5 ∙ 60 = 30 m/s.

Quindi, alla fine dell’accelerazione, siamo arrivati a 30 m/s: corrisponde a quanto sapevamo! Continuando sul nostro diagramma, nel tratto da P₁a P₂ manteniamo la velocità di 30 m/s; e nell’ultimo tratto? Eccolo.

Attenzione: nell’ultimo tratto dobbiamo considerare che il tempo della decelerazione parte da 130 s: è quanto ho indicato in rosso. Allora: quale sarà la formula che ci consente di calcolare la velocità? Attenti: nel primo tratto siamo partiti da una velocità nulla; qui, invece, partiamo da 30 m/s! E allora? Allora, ecco la formula:

v(t) = v(130) + a ∙ (t – 130)

Dove: v(t) è la velocità dopo 130 s; v(130) (uguale a 30 m/s) è la velocità che avevamo ai 130 s; a è l’accelerazione in questo tratto (negativa: – 1 m/s²); (t – 130) è il tempo oltre i 130 s. In effetti, la formula è la stessa del tratto 0-P₁(l’accelerazione iniziale), che nella forma più generale si scrive v(t) = v(0) + a ∙ t, dove, per il tratto iniziale, v(0) vale zero!

Calcoliamo alcuni valori di v:

v(130) = 30 m/s; v(131) = 30 – 1∙1= 129 m/s; v(135) = 30 – 1∙5 = 25 m/s; v(145) = 30 – 1∙15 = 15 m/s; v(160) = 30 – 1∙30 = 0 m/s. Quindi, a 160 s siamo fermi; giusto! Ecco spiegato il diagramma delle velocità!

Infine, calcoliamo lo spazio percorso. Allora, abbiamo detto che la velocità media è

v_m= s / t. Anche per lo spazio, possiamo dire che s = vm ∙ t; però, attenzione! C’è una grossa differenza rispetto al calcolo della velocità a partire dall’accelerazione! E qual è questa differenza? Bravi: il fatto che a era costante, mentre vm cambia di continuo! Come ce la caviamo?

Cominciamo dalla fase di accelerazione: la velocità aumenta costantemente, in proporzione al tempo. Per calcolare lo spazio percorso, armiamoci di pazienza. Supponiamo di dividere il tempo in intervalli di 5 s.

Per ognuno degli intervalli calcoliamo la velocità media e disegniamo un trattino orizzontale che ne rappresenta il valore.

Invece di una linea continua abbiamo una scalinata, formata da una serie di rettangolini accostati, che hanno per base l’intervallo di 5s e per altezza la velocità media dell’intervallo.

Consideriamo il primo gradino: la sua velocità media (ripeto, del gradino), è la metà di quella raggiunta dopo 5 s; quindi: v = a ∙ t / 2= 0,5 ∙ 5 / 2 = 1,25 m/s. Durante questo tempo, quando spazio abbiamo percorso? Beh: s = v_m∙ t= 1,25 ∙5 = 7,5 m.

E nel tratto tra 5 e 10 s, quanto è lo spazio percorso? Sono ancora 5 s, ma la velocità media è ora la media tra v(5) e v(10); quindi: v_m= (2,5 + 5)/2 = 3,75 m/s. E lo spazio percorso? Vale 3,75 ∙ 5 = 18,75 m.

Ora appare chiaro che lo spazio, per ogni gradino, è anche l’area del rettangolino compreso fra l’asse del tempo e il valore medio della velocità! Inoltre, capite bene che, continuando con questo sistema, alla fine la somma dell’area di tutti i rettangolini è lo spazio percorso, salvo qualche errore. Quindi, lo spazio totale così calcolato è, quasi, l’area del triangolo formato dall’asse del tempo e dal grafico della velocità!

Riassumiamo: abbiamo diviso il nostro intervallo di tempo T= 60 s in N= 12 parti: chiamiamo Δt (si legge “delta ti”: il simbolo Δ è la lettera greca delta maiuscola, che ricorda la differenza tra due valori vicini) questo intervallo di tempo. Consideriamo poi il numero n del gradino: n varia da 1 a 12; la velocità media corrispondente, che possiamo calcolare, la chiamiamo v(n). Matematicamente, scriviamo:

La formula si legge: lo spazio s è quasi uguale (il simbolo ≈ ha questo significato) alla sommatoria, per tutti i valori di n compresi tra 1 e N(12), del prodotto della velocità media v(n) relativa all’elemento n, moltiplicata per Δt.

Dopo aver capito questo fatto, Newton ha fatto un’operazione analoga a quella fatta per le derivate; cioè, si è detto: ma se io aumento N all’infinito, cioè se faccio diventare piccolissimi gli intervalli di tempo Δt = T/n, cosa ottengo? Ottengo esattamente l’area del triangolo! Matematicamente, si scrive:

La seconda parte, che graficamente ricorda una esse allungata, dove s sta, appunto, per sommatoria, si legge: “integrale, per t che varia tra zero e t maiuscolo, di v di ti per de ti”.

Ripeto: passando al limite, la sommatoria diventa qualcosa di esatto: appunto, un integrale. E quale è il valore dell’integrale? Beh, siamo capaci di calcolare l’area di un triangolo!

La base del triangolo è T(60 s); la sua altezza è 30 m/s: l’area è 1/2∙60∙30 = 900 m! Guardate un poco il diagramma della prima parte dello spazio: corrisponde!

Due altre domande: e se volessimo conoscere lo spazio percorso al tempo t? Sarebbe sempre l’area del triangolo tra 0 e t; quindi:

s(t) = ½ ∙ v(t) ∙ t

Però, attenzione: v(t) dipende dalla accelerazione, e vale:

v(t) = a ∙ t

Quindi, in conclusione:

s(t) = ½ ∙ a ∙ t²

Ebbene, Newton già sapeva, da Galileo, che un corpo che cade, quindi con accelerazione costante, percorre uno spazio proporzionale al quadrato del tempo trascorso! Tombola!

Ora consideriamo il secondo tratto, quello a velocità costante: ecco il diagramma. Abbiamo appena calcolato che, dopo 60 s di accelerazione, in P₁ abbiamo percorso 900 m; e poi? Dove siamo arrivati nel punto t?

Poiché dopo P₁ andiamo alla velocità costante di 30 m/s: a partire da P₁ lo spazio percorso è

s = v ∙ (t – 60)

Ma in P₁ abbiamo già percorso 900 m; quindi, tra P₁ e P₂ lo spazio è:

s(t) = 900 + 30 (t – 60)

In formule, se chiamiamo s₁ lo spazio percorso in P₁, v₁ la velocità in P₁ e t₁ il tempo in P₁, possiamo scrivere:

s(t) = s_{1 +}v₁∙ (t – t₁)

E nell’ultimo tratto? Ultimo sforzo!

Cosa succede tra P₂e F? Qual è la formula del movimento? Anche nell’ultimo tratto dobbiamo considerare lo spazio precedente e, se chiamiamo s₂ lo spazio percorso in P₂, v₂ la velocità in P₂ e t₂ il tempo in P₂, possiamo scrivere:

s(t) = s_{2 +}v₂∙ (t – t₂) + ½ ∙ a ∙ (t – t₂)²

Ecco fatto: questa è la formula del caso più generale, quando consideriamo un punto che ha percorso lo spazio s₂ ed ha una velocità v₂ dopo un tempo t₂.

Spero che siate stanchi, ma soddisfatti. Mi avete seguito sino a capire i due mattoni fondamentali dell’analisi matematica: le derivate e gli integrali!!! Capirete anche che c’è tanto ancora da dire: però, per i nostri scopi di capire la fisica dei fenomeni e le leggi che le governano, ci fermiamo qui. Ritornando alla fisica, riscriviamo il secondo principio della dinamica:

F = m ∙ a; da cui:

a = F / m; e quindi:

F / m = d²s/dt² Ecco perché Newton ha dovuto creare l’analisi: per rispondere, appunto, alla domanda: come si passa dall’accelerazione alla velocità raggiunta ed allo spazio percorso?

Se tu spingi me, io spingo te

Il terzo esperimento di dinamica è ancora un esperimento mentale; però, per coglierlo, occorre avere la mente aperta alla fisica.

Ad esempio, siete seduti? E quanto pesate? E la vostra forza peso sta agendo? E poiché agisce, perché non cadete per terra?

Vi ricordo il secondo principio della dinamica: se c’è una forza che agisce, si sviluppa una accelerazione. Conclusione: non cadete perché non c’è nessuna forza! Ma come, non c’è nessuna forza: voi avvertite bene il vostro peso! Ebbene, poiché non c’è nessun movimento, ci deve essere una forza che annulla la vostra forza peso!

Isaac Newton 1689 Sir Godfrey Kneller — Isaac Newton (1689)
Sir Godfrey Kneller

Ed ecco il nostro Newton che, sempre nel laboratorio del suo grande cervello, pensa a questo fatto, e conclude: siccome nulla si muove, malgrado io stia spingendo, l’oggetto su cui spingo deve sviluppare una forza, chiamata reazione, di valore uguale e direzione contraria a quella che sto applicando.

Sempre nei Principia, Newton scrive:

Actioni contrariam semper & æqualem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse æquales &in partes contrarias dirigi.

Oggi siamo più sintetici:

Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria.

Altra situazione: auto in panne; dovete spingerla. Eccovi al lavoro. Cosa succede della forza con cui spingete?

Mentre spingete l’auto, lei reagisce con la stessa forza; altrimenti, l’auto scapperebbe via, e voi cadreste a faccia in giù.

Il secondo principio della dinamica

Continuiamo a far lavorare il nostro cervello, e facciamo un altro esperimento ideale. Abbiamo in mano una sfera di una certa massa. Lanciamo la sfera: cosa succede? Succede che, mentre abbiamo la sfera in mano, la acceleriamo (cioè, la mettiamo in movimento): quando la lasciamo, si allontana da noi con una certa velocità.

Analizziamo in dettaglio le fasi dell’esperimento: stiamo applicando una forza ad un oggetto di una certa massa. La nostra azione perdura sino a quando abbiamo l’oggetto in mano: quando lo lasciamo, il primo principio della dinamica ci dice che si allontana a velocità costante (nel nostro cervello, siamo nel vuoto, lontano dalla Terra).

Durante il lancio, la sfera, che era ferma, acquista velocità. Quindi, la forza che noi applichiamo al corpo serve per accelerarlo; quando smettiamo di ruotare il braccio, il corpo ha acquistato una velocità che dipende dalla accelerazione e dalla durata di applicazione della forza.

Domanda: e se cambiamo la massa dell’oggetto? L’intuito ci dice che, a pari forza, l’accelerazione è inversamente proporzionalealla massa; cioè, a una massa minore corrisponde una accelerazione maggiore.

Altra domanda: e se cambiamo la forza con cui lanciamo l’oggetto? Sempre l’intuito ci dice che l’accelerazione è direttamente proporzionale alla forza applicata: a forza maggiore corrisponde accelerazione maggiore.

Questi, all’incirca, dovevano essere i pensieri di Newton, quando si dedicava allo studio del movimento accelerato. Un aiuto a questi studi gli veniva da Galileo, che aveva osservato la caduta di un corpo lungo un piano inclinato (orologio: il battito del suo cuore!), e scoperto che lo spazio percorso è proporzionale al quadrato del tempo trascorso.

La conclusione dei suoi studi, sempre pubblicata nel suo capolavoro “De philosophiae naturalis principia mathematica”, è stato il secondo principio della dinamica. Ecco la formulazione originale:

Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.

Capito tutto? Oggi formuliamo così la stessa legge:

Il cambiamento di moto è proporzionale alla forza motrice risultante applicata, ed avviene lungo la linea retta secondo la quale la forza stessa è stata esercitata.

Avete capito? Si parla di “risultante” perché le forze applicate possono essere più di una (legge del parallelogrammo!), e di cambiamento di moto; quindi, la legge si applica sia ad un oggetto in quiete che in moto rettilineo uniforme.

Ho promesso di parlare di fisica senza usare la matematica, tranne poche eccezioni. Questa è una di quelle: il secondo principio si scrive come segue.

F = m∙a;

(si legge emme per a) oppure

a = F / m

Dove F è la forza applicata; m è la massa del corpo accelerato; a è l’accelerazione che si sviluppa in seguito all’applicazione della forza F. Ma è semplicissima! Ci conferma quanto avevamo pensato: a pari m, con F maggiore a è maggiore. A pari F, con m maggiore a è minore.

Ritratto di Galileo Galilei (1636) Justus Sustermans — Ritratto di Galileo Galilei (1636)
Justus Sustermans

Voi direte: ma come posso calcolare la velocità raggiunta dal corpo, e lo spazio percorso durante l’accelerazione? Ripeto: Galileo aveva già dato una risposta alla seconda domanda; però, Newton aveva bisogno di formule che collegassero la velocità e lo spazio percorso al tempo di durata del fenomeno e all’accelerazione applicata. Quindi, per procedere, Newton è stato costretto a creare la matematica che gli serviva: nientemeno che l’analisi matematica! Ne riparleremo nel prossimo articolo; ora, finalmente, parliamo della forza, e della sua unità di misura.

Nella formula F = m∙a, conosciamo l’unità di misura della massa, il chilogrammo, e quella dell’accelerazione, m/s²: allora, qual è l’unità di misura della forza, nel SI?

È una unità composta: kg∙m/s². Quindi, in nessun laboratorio di fisica troverete mai la forza campione!

In fisica, l’unità di forza si chiama, appunto, Newton; il simbolo è N. Per definizione, il Newton è la forza che, applicata ad una massa di 1 kg, la accelera di 1 m/s²: ripeto, è una unità composta.

Però, voi direte: normalmente, io misuro la forza in chilogrammi. Abbiamo imparato che il chilogrammo è, in effetti, l’unità di misura della massa del corpo; allora, il chilogrammo che usiamo per misurare la forza, che cosa è?

Per rispondere, consideriamo che, in natura, ci sono diversi tipi di forze: quella di una molla, che può tirare o spingere; quella di un magnete su un pezzo di ferro; quella elettrica, per cui con della plastica strofinata si attraggono dei pezzetti di carta. Ma c’è una forza che, sulla Terra, ci attira sempre verso il basso: la forza di gravità!

Ma che caratteristica ha questa forza di gravità? Domanda cruciale: dipende dalla massa del corpo, oppure da qualcosa di diverso? Il secondo principio ci dice che il rapporto tra forza e massa è l’accelerazione del corpo libero di muoversi; quindi, se la forza di gravità dipendesse dalla massa, tutti i corpi liberi di cadere lo farebbero con la stessa accelerazione.

Attenzione, ripeto: la massa del secondo principio e la massa dei gravi potrebbero essere due entità fisiche totalmente diverse! Poiché vi ho detto potrebbero, ciò significa che non lo sono. Ecco un fatto che ha spinto Einstein a formulare le leggi della gravità generale: ne riparleremo a suo tempo…

A questo punto, voi direte: ma l’accelerazione di gravità dipende dalla massa: un mattone cade più rapidamente di una piuma! Avete ragione; però, ritorniamo nel nostro laboratorio, il nostro cervello, e pensiamoci un poco…

Ritorniamo al nostro amico Galileo: sempre nel suo cervello, ha pensato (si favoleggia che lo abbia fatto davvero): metto una piuma sopra ad un mattone, e poi li faccio cadere assieme: cosa succede? Se Aristotele avesse ragione, la piuma dovrebbe rimanere indietro rispetto al mattone! Invece cadono assieme: perché? Se mattone e piuma venissero fatti cadere separatamente, la piuma cadrebbe più lentamente, perché è frenata dalla resistenza dell’aria. Invece, nell’esperimento pensato, il mattone fende l’aria, così che mattone e piuma cadono assieme!

Inoltre, Galileo ha pensato: prendo un mattone, lo faccio cadere: impiega un certo tempo. Ora spezzo il mattone in due: poiché i due pezzi pesano metà del mattone originario, seguendo Aristotele dovrebbero impiegare ciascuno il doppio del tempo! E se lego assieme i due pezzi? È evidente che quanto dice Aristotele è falso: gli oggetti devono cadere nello stesso tempo.

La cosa si verifica immediatamente facendo cadere oggetti diversi in un tubo a cui si sia tolto l’aria: cadono assieme! Ma questo, Galileo non poteva saperlo.

Conclusione? Tutti i corpi, a livello del mare (vedremo presto perché questa precisazione) cadono nel vuoto con la stessa accelerazione, indicata con g, e chiamata accelerazione di gravità. Il suo valore è (arrotondando) 9,81 m/s² (che bella fortuna: quasi 10!).Ora, domanda conclusiva: con che forza di gravità viene attratto un corpo di massa 1 kg? Risposta: 9,81 N; nella pratica ingegneristica (ripeto, non è una unità SI) con la forza di 1 kg (ricordate? Per non confondersi, sarebbe meglio scrivere kg_f, ma nella pratica quotidiana è inutile!). Quindi, per conoscere il nostro peso in Newton, basta moltiplicare per (quasi) 10 il nostro peso in chilogrammi. In conclusione, usiamo tranquillamente il kg come misura della forza: dato il contesto, non ci si sbaglia.

Datemi un punto d’appoggio e solleverò il mondo!

Oggi vorrei che pensassimo per un secondo a quanto è dura la vita dei ladri: porte e finestre da scassinare; come se la cavano? Per fortuna, c’è il piede di porco! Ma cos’è il piede di porco? A cosa serve? Come si usa? Su quale principio funziona?

Per rispondere alla prima domanda, ecco qui un esemplare di piede di porco. È una robusta asta di acciaio, arrotondata ed assottigliata ad una estremità, con una biforcazione finale che ricorda, appunto, quella della zampa di un suino.

Il piede di porco non è una esclusiva dei ladri: si usa per aprire casse d’imballaggio, sollevare pesi, ed anche per forzare serrature.

Come si usa il piede di porco? Ecco una foto di un malfattore al lavoro: lo si inserisce tra battente e porta, e poi si fa leva con il lungo manico. Il piede di porco aumenta di molto la forza esercitata dallo scassinatore, e la porta si apre!

Prima di parlare della leva devo dirvi qualcosa di più sulla forza. Forse ricorderete che, nel mio terzo articolo, ho detto che pesoe massadi un corpo sono cose diverse, e che il chilogrammo è l’unità di misura della massa. Adesso, visto che voglio parlarvi della leva, devo parlarvi della forza. Ebbene, questa è una anticipazione: dovete sapere che la forza è strettamente legata al movimento, di cui vi parlerò tra non molto. E allora, cosa vi anticipo ora?

Ed ecco qui la parola a cui volevo arrivare: cos’è una leva? Quali tipi di leva esistono? Su quale principio si basano?

Anzitutto, che, nel SI, l’unità di misura della forza è il Newton, abbreviato con N. Non ne avevate mai sentito parlare? Spero di sì! La seconda cosa che devo dirvi è che, da secoli, in ingegneria, si usa il chilogrammo-peso come unità di misura della forza; il simbolo, purtroppo, è kg, come per la massa (a scanso di equivoci, preferisco scrivere kgp): da qui parte la grande confusione! E che relazione c’è tra chilogrammo peso e Newton? Un kgp vale circa 10 N (esattamente, 9,81 N): meno male; è un rapporto che si ricorda facilmente.

Abbiate pazienza: per ora accontentatevi; ne riparleremo. E perché questa anticipazione? Perché, parlando della leva, entro in un capitolo della fisica che si chiama statica, e che parla delle forze. Ora vi chiedo: di che tipo di grandezza è la forza: è uno scalare, come la temperatura, od è un vettore, come la velocità?

Pensate un attimo: il nostro peso ci sposta sempre verso il basso; però, parlando di forze, voi potete tirare, spingere, sollevare, abbassare: ecco quattro situazioni in cui, a pari valore della forza (meglio, a pari intensità o modulo della forza) occorre specificare direzione e verso! Quindi, d’accordo: la forza è un vettore. Allora, parliamo delle leve!

Se cercate la definizione di leva scoprite che si tratta di un’asta rigida che ruota attorno ad un fulcro. Il suo scopo è trasportare due forze. Attenzione: asta rigida significa che non si deforma con le forze in gioco. Ecco il piede di porco semplificato: in fisica, si chiama leva del primo genere.

Vedete? Ho un’asta che si appoggia sul fulcro F. La forza Fr, detta resistenza, è quella che devo vincere per scassinare la porta; la forza Fm, detta impropriamente potenza, è la forza motrice che sviluppa lo scassinatore.

Secondo voi, su quale principio si basa la leva? Pensiamo un poco: lo scassinatore spinge ad una estremità della leva, che dista bp dal fulcro F; all’altra estremità c’è la resistenza, che dista br dal fulcro. Dal disegno, si vede che R è più grande di F: perché? Proviamo a pensare: se spostassi il fulcro, in modo da accorciare br, e quindi allungare bp, potrei vincere una resistenza R inferiore o superiore?

Già Archimede, circa 2200 anni fa, capì che la situazione di equilibrio, cioè quando la leva non si muove, si ha quando vale la semplice relazione: bp x P= br x R. I due prodotti, bp x P e br x R sono la coppia applicata alla leva (è una delle caratteristiche fondamentali delle automobili!); il prodotto bp x P è anche chiamato il momento di P; il prodotto br x R è anche chiamato il momento di R.

Ora basta con le definizioni! Ritornando alla mia domanda di prima, da questa eguaglianza si calcola che R= bp x P/ br. Quindi, tanto più piccolo è br, tanto più grande è R! Attenzione, però: se br è piccolo, è anche piccolo lo spostamento dell’estremità R. Ecco perché il piede di porco, in fondo, ha quella forma arrotondata: man mano che la porta si apre, il fulcro si allontana, e si può continuare ad aprire. Troppo difficile? Troppa matematica? Dai, ora sapete ciò che sapeva Archimede, 2200 anni fa!

Bene: ora, vediamo gli altri generi di leva: ce ne sono tre in totale. Chi mi dice cosa sono i seguenti oggetti? Forbici, tenaglia, carrucola, remo, vanga, schiaccianoci, carriola, pinzette, taglia unghie. L’elenco potrebbe continuare: sono tutte leve! Davvero? Vediamole.

La forbice è una leva del primo genere: il fulcro, la vite, si trova tra la potenza e la resistenza. I primi quattro oggetti che vi ho elencato sono di questo genere: pensateci! La potenza e la resistenza hanno lo stesso verso. La resistenza può essere maggiore o minore della potenza, a secondo della lunghezza dei bracci.

Lo schiaccianoci, invece, è una leva del secondo genere: la resistenza è tra fulcro e potenza, ed ha verso opposto. La resistenza è sempre maggiore della potenza. Anche la carriola fa parte di questo genere.

Infine, la pinzetta è una leva del terzo genere: rispetto al secondo genere, potenza e resistenza sono scambiate. Ma voi dite: a cosa serve questa leva? La potenza è maggiore della resistenza! Giusto, bravi: però, pensate che le servono per prendere piccoli oggetti; non occorre la forza.

Con i taglia unghie, invece, c’è un problema: le unghie sono dure: se applichiamo una leva del terzo genere, non riusciamo a tagliarle! Ed ecco che, per risolvere questo problema, è stato necessario realizzare una vera e propria macchina, con due leve: quella superiore, del primo genere, moltiplica la forza; quella inferiore, del terzo genere, esegue il taglio. Visto che roba?

Concludo con la famosa frase di Archimede:

“Datemi una leva, ed un punto di appoggio, ed io vi solleverò il mondo!

Naturalmente, la leva deve essere ben robusta e lunga assai; il punto di appoggio è ancora più problematico: a cosa appoggiarsi?

Naturalmente, era la esagerazione del principio da lui scoperto!