La matematica ai tempi del Coronavirus

In questo periodo siamo sommersi da notizie sull’epidemia e tra le tante che ci arrivano nessuna che dia l’idea su come stanno andando le cose in modo semplice e chiaro. Quindi per l’uomo comune il tutto diventa incomprensibile. Come vengono prese le decisioni da parte di chi ha la responsabilità del governo?

La risposta è che le decisioni dipendono dalle analisi sui dati dell’epidemia, fatte dagli statistici che riferiscono al governo. Come ripeto, dai notiziari che ci sommergono non ci è dato di conoscerne i risultati; solo qualche buon giornale li presenta e commenta.

Ebbene, chi ha studiato matematica (o frequentato i corsi della nostra UNITRE), può utilizzare questa arte per capire, appunto, come stiamo andando le cose.

Anzitutto, cosa significa che una malattia è contagiosa? Significa che una persona malata può fare ammalare delle altre persone, con cui viene in contatto. Quando questo accade, come si evolvono le cose?

Supponiamo che ogni persona ammalata possa contagiarne due in due giorni (cosa vicina a quanto fa il coronavirus, senza limitazioni di movimento). In questa situazione, avremmo il seguente andamento dei malati.

GIORNO NUOVI MALATI
0 1 1
2 2 3
4 4 7
6 8 15
8 16 31
10 32 63
12 64 127
14 128 255
16 256 511
18 512 1023
20 1024 2047

Quella che vedete è una progressione geometrica, cioè moltiplicativa: la crescita si chiama esponenziale. Il diagramma dà l’idea di cosa succede man mano che passano i giorni.

1

Il diagramma è una semplificazione: passando i giorni alcuni malati guariscono ed altri muoiono; il totale è minore di quanto indicato. E quando termina questo aumento spaventoso? Semplice: quando ci ammaliamo tutti quanti!

Naturalmente, anche questo non è vero: man mano che i malati guariscono ci saranno sempre meno nuovi ammalati. Il risultato finale è un andamento a “sigma”, come illustrato nel diagramma seguente:

2

Questo è l’effetto gregge di cui qualche noto politico estero ha blaterato. Il piccolo problema è che, nel frattempo, aumenta anche il numero dei morti, e gli ospedali non riescono a far fronte alle richieste di nuovi ricoveri.

E allora? Allora, l’unico sistema è di abbassare il numero di persone contagiate da un malato: se nessuno contagia nessun altro, l’epidemia si ferma. Ecco perché in Cina prima, poi in Italia e poi nel resto dei paesi contagiati si sono adottate le misure restrittive al movimento delle persone.

Come si fa a capire che l’andamento dell’epidemia segue la curva sigma invece di quella esponenziale? Le due curve, all’inizio, sono praticamente identiche! E allora?

Allora, si aspetta di vedere che la curva dell’incremento dei nuovi malati mostri una riduzione dell’aumento (il flesso) che è individuata dal punto rosso della curva sigma. Quindi, facciamolo: prendiamo questi dati, ad esempio dal sito della protezione civile, e costruiamo la tabella dei dati; da questa, disegniamo il nostro diagramma. Ecco il totale dei malati in Italia, aggiornato al 21 marzo.

3

4

Come vedete, la curva continua ad aumentare; ad occhio, sembra ancora con andamento esponenziale. Come possiamo capire se siamo arrivati al flesso?

Un metodo molto semplice è quello di disegnare lo stesso diagramma su della carta semilogaritmica (che si trova in cartoleria). Cosa è la carta semilogaritmica? È una carta che ha degli intervalli di larghezza costante su un asse, mentre sull’altro asse ha intervalli proporzionali al logaritmo del numero. Quindi, sul primo asse è costante la distanza tra 1, 2, 3 eccetera; sul secondo, è costante la distanza tra 1, 10, 100, 1000 eccetera.

Ora, come sanno coloro che hanno studiato matematica o seguito il primo anno di corso alla UNITRE, il bello del diagramma che ne viene fuori è che se l’andamento è esponenziale il diagramma è una retta, facilissima da riconoscere! Ebbene, se facciamo questo diagramma: cosa vediamo? Ecco a voi.

5

Beh, beh: non è proprio una retta, e questo è un bene; però, non ci si discosta molto. Possiamo fare qualcosa d’altro?

Certamente: la cosa da fare è semplice da capire; la matematica che ci sta sotto si studia alle superiori, o al terzo anno del corso di matematica di UNITRE. Di cosa si tratta?

Si tratta si studiare non solo l’andamento dei malati, ma il loro incremento giornaliero. In matematica, questa è la derivata prima della curva. Cosa troviamo? Vediamo cosa succede sulla curva sigma.

6

Ecco: ad un certo punto, precisamente quando si raggiunge il flesso, la curva della derivata, cioè degli incrementi, smette di salire, ed inizia a calare. Bene: allora, vediamo la curva degli incrementi dei malati in Italia.

7

8

Discesa degli ultimi due giorni ci fa ben sperare.

In Italia, le restrizioni sono attive da due settimane: e se consideriamo la sola Lombardia, dove stiamo in casa da quattro settimane? Eccovi tabelle e diagrammi del numero di malati e del loro incremento per la Lombardia.

9

Siamo ancora in aumento! Vediamo gli incrementi.

10

11

Bene: anche a livello Lombardia c’è un calo dei nuovi malati!

Questo è quanto la matematica ci può dire. Ora, pensiamo a quanto abbiamo visto.

La prima riflessione è che, forse, abbiamo raggiunto il flesso: occorrerà la conferma nei prossimi giorni. Supponiamo che, almeno in Lombardia, lo abbiamo realmente raggiunto. Se guardiamo la curva sigma, osserviamo che è simmetrica rispetto al flesso: quindi, per vedere l’aumento dei casi tendere a zero, come è successo in Cina, occorreranno altrettante settimane rispetto all’inizio: diciamo, altre cinque settimane. Quindi, sempre se va bene, potremmo dire di esserne fuori la prima settimana di maggio.

Un momento: cosa vorrà dire esserne fuori? Vorrà dire avere annullato i nuovi casi, ma nella attuale situazione di limitazione dei movimenti e delle attività! Quindi, non vuol dire affatto che da inizio maggio potremo ritornare a muoverci come prima: se lo facessimo, l’epidemia ritornerebbe ad esplodere!

Conclusione: la limitazione dei movimenti ha l’ottimo scopo di ridurre il numero di nuovi casi, e di dare assistenza ai malati: meno malati significa ospedali che riescono a rispondere all’afflusso dei pazienti. Questa limitazione dovrà inesorabilmente essere protratta, sino a quando succederanno due cose.

La prima sarà una cura per chi si ammala: già si stanno sperimentando medicine che, anche se sono state create per altri scopi, dimostrano di avere qualche efficacia.

La seconda sarà, finalmente, la disponibilità di un vaccino. Come sapete, per averlo occorre anzitutto crearlo, e poi verificarlo. Se fosse creato oggi, la sola verifica, almeno con i criteri attuali, prenderà un anno e mezzo. Per inciso, quei genitori che, convinti che i vaccini sono cattivi, hanno esposto i figli al rischio della roulette russa, scommetto saranno in prima fila per farsi vaccinare!

Unica nota consolatoria: quando veramente sarà tutto finito, spero proprio che il mondo sarà migliore, e più saggio. Si, perché, vedete, mentre la morte per coronavirus è evidente, c’è un altro pericolo che ci sovrasta, più subdolo perché meno brutale: il problema della non sostenibilità del nostro modello di esistenza. Il capitalismo, con la sua corsa sfrenata all’utile monetario, ha ampiamente mostrato i suoi limiti: occorre rientrare in carreggiata.

Tanti anni fa leggevo il libro “I limiti dello sviluppo”. Nel libro si ipotizzava una crescita esponenziale degli abitanti della Terra, ciò che comportava problemi man mano insolubili di mancanza di cibo, di inquinamento, di scarsità di risorse e, appunto, di scoppio di pandemie. Ebbene, mentre le altre crescite hanno mostrato un andamento a sigma, la pandemia che ci affligge ha scalfito le fondamenta del nostro modo di essere e di pensare.

Ultimo commento: la matematica, al mondo d’oggi, serve!

Taggato con: