Che tempo minaccioso: vuole piovere; meglio prendere l’ombrello. Mentre vado in giro lo tengo verticalmente, e sento il suo peso sulla mano. A un certo momento, tenendolo per il manico, lo sollevo in posizione orizzontale: ebbene, mi sembra proprio di fare più fatica! Ma cosa succede: il peso dell’ombrello cambia a seconda che sia orizzontale o verticale?

Schematizziamo la situazione: ecco l’ombrello messo in verticale; la forza F con cui lo tengo sollevato è uguale al peso P, che si applica nel punto B. Quando lo sollevo e lo metto in orizzontale, ho ancora il peso P applicato al baricentro dell’ombrello; però sento distintamente aumentare la forza F con cui lo tengo. Perché? Cosa succede?

Per rispondere, consideriamo un corpo più semplice, diciamo un disco di lamiera: il suo baricentro è il centro O del disco.

Ora, noi sappiamo che, se sospendiamo il disco su un punto R della circonferenza, lasciandolo libero di ruotare, il disco ruota sino a quando il centro si trova sotto al punto di sospensione. Giusto; però, chiediamoci: perché succede ciò? Sul punto di sospensione si sviluppa una forza uguale e contraria al peso P del disco: poiché le due forze sono uguali e contrarie, la loro risultante dovrebbe essere zero; allora, perché il disco si muove?

Pensiamoci un poco, e ricordiamo che le forze sono vettori. Due forze uguali ed opposte si annullano se sono allineate; però, questo non è il nostro caso. Infatti, le due forze sono disallineate; la distanza tra di loro è indicata con b. Ora, qual è l’effetto di due forze così disposte?

Se ricordate le leve, è evidente che le due forze provocano la rotazione (in senso antiorario) del corpo: il disco gira sino a quando il baricentro O si trova in verticale sotto ad R.

In fisica, si dice che al corpo sospeso è applicata una coppia di forze d’intensità P e braccio b; il momento M che provoca la rotazione del corpo è uguale a M = P ∙ b, e si misura in N ∙ m.

Conclusione: quando si parla di corpi estesi, affinché il corpo stia fermo non è sufficiente che la somma delle forze agenti su di lui sia uguale a zero: occorre anche che la somma dei momenti di queste forze sia uguale a zero. Se la somma delle forze è diversa da zero avremo la traslazione del corpo sulla direzione e verso della forza risultante; se la somma dei momenti è diversa da zero avremo la rotazione del corpo nel verso della coppia risultante. Il tutto si scrive a questo modo:

 = 0

 = 0

Dove:

• Il simbolo Σ è il sigma greco maiuscolo, e si legge “sommatoria”.
• Supponendo che sul corpo agiscano N forze ed N momenti, il simbolo n è l’indice di queste forze, che sono F₁, F₂, …, F_n, … F_N. 
• Le formule si leggono a questo modo: la sommatoria delle forze effe enne, con enne che va da uno a enne maiuscolo, è uguale a zero. Analogamente per i momenti.

Noterete che forze e momenti sono vettori. Per le forze nulla di nuovo; però, considerando coppie di forze nello spazio, anche i momenti sono vettori. Se ci limitiamo a coppie di forze che agiscono su un piano, ci saranno coppie che fanno ruotare il corpo in senso orario, ed altre in senso antiorario: definendo, arbitrariamente, positivo il senso orario, le coppie che agiscono in senso antiorario saranno negative.

Parlando delle coppie, una cosa importante da precisare è che la posizione del punto attorno a cui calcolare i momenti è arbitraria: l’unico vincolo è che questo punto deve essere lo stesso per tutte le coppie.

Direi che è l’ora di passare a degli esempi. Cominciamo con il riprendere in considerazione una leva in equilibrio.

Ricordate la figura? Abbiamo detto che la leva non si muove perché le coppie delle forze F_r e F_m sono uguali:

F_rb_r = F_mb_m

E quindi: F_m = F_rb_r/bm

Tutto giusto, ma incompleto: ci siamo dimenticati della leva e del fulcro! Della leva supponiamo che sia rigida; però, benché sia tirata da due forze diverse alle sue estremità, perché non si muove? Perché sul fulcro si sviluppa una forza F_f che le compensa: F_f = – (F_r + F_m)

Chiarito questo fatto, usiamo un poco di matematica per verificare che è vera la mia affermazione: l’equilibrio delle coppie non cambia cambiando il punto rispetto al quale calcolare i bracci. 

Il punto che abbiamo usato per calcolare le coppie è il fulcro; ora, vi dico che posso usare qualunque altro punto. Vediamo se è vero.

Supponiamo, ad esempio, di usare il punto A (l’estremità sinistra della leva) come riferimento. Rispetto a questo punto abbiamo due momenti: F_m, con braccio b_r + b_m, e F_f, con braccio b_r. Allora calcoliamo il momento risultante M_r:

M_r = F_f ∙ b_r – F_m (b_r + bm)

Poiché il modulo di F_f vale (F_r + F_m), si ha:

= (F_r + F_m) ∙ b_r – F_m ∙ b_r – F_m ∙ b_m = 

= F_r ∙ b_r + F_m ∙ b_r – F_m ∙ b_r – F_m ∙ b_m = 

= F_r ∙ b_r  – F_m ∙ b_m = 

= F_r ∙ b_r  – F_r ∙ (b_r/b_m) ∙ b_m = 

= F_r ∙ b_r – F_r ∙ b_r = 0

Quindi, poiché M_r = 0, i momenti, calcolati rispetto ad un altro punto, sono in equilibrio! Potete verificare che questo è vero scegliendo punti qualunque!

Come mio solito, sono partito da un ombrello, e poi vi ho portato molto lontano: è l’ora di ritornare all’ombrello! Visto tutto ciò che abbiamo imparato, cosa possiamo concludere?

La conclusione è che la figura con l’ombrello orizzontale è sbagliata: così come è disegnata, la coppia delle forze F e P fa ruotare l’ombrello, e lo riporta in verticale. E allora, cosa succede? Noi riusciamo a tenere l’ombrello in orizzontale; ma a prezzo di quale sforzo?

Semplifichiamo la situazione, e fingiamo che l’ombrello sia un’asta rigida. Il mio ombrello, arrotondando, pesa 1 kg, è lungo 1 m, ed ha il manico lungo 1 dm. Cosa succede quando lo tengo orizzontalmente?

Ecco schematizzata la situazione: l’ombrello è un’asta lunga 1 m, con baricentro a 50 cm dall’estremità di sinistra, dove lo tengo con la mano.

Abbiamo detto che per equilibrare il peso P = 10 N (1 kg) occorre una forza opposta F₁, dove metto la mano, posta a 10 cm dall’estremità; ma abbiamo anche detto che non basta, perché l’ombrello ruoterebbe. Quindi, quando teniamo l’ombrello orizzontale, applichiamo anche alla estremità del manico una seconda forza, F₂, diretta verso il basso, che equilibra la coppia data da F₁ e P! E quanto valgono F₁ e F₂? Calcolemus!

La somma delle forze deve essere zero; quindi: F₁ = P + F₂

La somma dei momenti deve essere zero. Prendo come riferimento l’estremità, dove applico F2; quindi: 

10 ∙ F₁ = 50 ∙ P. Da ciò si ricava F₁ = 5 ∙ P = 50 N (5 kg)!

Quindi, con alcuni passaggi, calcoliamo anche F₂:

10 ∙ (P + F₂) = 50 ∙ P

10 ∙ F₂ = 40 ∙ P

F2 = 4 ∙ P = 40 N (4 kg)

Quindi, la vostra sensazione era corretta: tenere l’ombrello orizzontale comporta l’applicazione di uno sforzo maggiore, perché dovete generare la coppia di forze formata da F₁ ed F₂! Vi sembra strano? Provare per credere!

Conclusione: partendo da un ombrello, abbiamo approfondito il concetto di coppia di forze: ci servirà in futuro.