Il peso in Fisica: ma quanto pesa questo ombrello?

Che tempo minaccioso: vuole piovere; meglio prendere l’ombrello. Mentre vado in giro lo tengo verticalmente, e sento il suo peso sulla mano. A un certo momento, tenendolo per il manico, lo sollevo in posizione orizzontale: ebbene, mi sembra proprio di fare più fatica! Ma cosa succede: il peso dell’ombrello cambia a seconda che sia orizzontale o verticale?

Schematizziamo la situazione: ecco l’ombrello messo in verticale; la forza F con cui lo tengo sollevato è uguale al peso P, che si applica nel punto B. Quando lo sollevo e lo metto in orizzontale, ho ancora il peso P applicato al baricentro dell’ombrello; però sento distintamente aumentare la forza F con cui lo tengo. Perché? Cosa succede?

Per rispondere, consideriamo un corpo più semplice, diciamo un disco di lamiera: il suo baricentro è il centro O del disco.

Ora, noi sappiamo che, se sospendiamo il disco su un punto R della circonferenza, lasciandolo libero di ruotare, il disco ruota sino a quando il centro si trova sotto al punto di sospensione. Giusto; però, chiediamoci: perché succede ciò? Sul punto di sospensione si sviluppa una forza uguale e contraria al peso P del disco: poiché le due forze sono uguali e contrarie, la loro risultante dovrebbe essere zero; allora, perché il disco si muove?

Pensiamoci un poco, e ricordiamo che le forze sono vettori. Due forze uguali ed opposte si annullano se sono allineate; però, questo non è il nostro caso. Infatti, le due forze sono disallineate; la distanza tra di loro è indicata con b. Ora, qual è l’effetto di due forze così disposte?

Se ricordate le leve, è evidente che le due forze provocano la rotazione (in senso antiorario) del corpo: il disco gira sino a quando il baricentro O si trova in verticale sotto ad R.

In fisica, si dice che al corpo sospeso è applicata una coppia di forze d’intensità P e braccio b; il momento M che provoca la rotazione del corpo è uguale a M = P ∙ b, e si misura in N ∙ m.

Conclusione: quando si parla di corpi estesi, affinché il corpo stia fermo non è sufficiente che la somma delle forze agenti su di lui sia uguale a zero: occorre anche che la somma dei momenti di queste forze sia uguale a zero. Se la somma delle forze è diversa da zero avremo la traslazione del corpo sulla direzione e verso della forza risultante; se la somma dei momenti è diversa da zero avremo la rotazione del corpo nel verso della coppia risultante. Il tutto si scrive a questo modo:

 = 0

 = 0

Dove:

  • Il simbolo Σ è il sigma greco maiuscolo, e si legge “sommatoria”.
  • Supponendo che sul corpo agiscano N forze ed N momenti, il simbolo n è l’indice di queste forze, che sono F1F2, …, Fn, … FN
  • Le formule si leggono a questo modo: la sommatoria delle forze effe enne, con enne che va da uno a enne maiuscolo, è uguale a zero. Analogamente per i momenti.

Noterete che forze e momenti sono vettori. Per le forze nulla di nuovo; però, considerando coppie di forze nello spazio, anche i momenti sono vettori. Se ci limitiamo a coppie di forze che agiscono su un piano, ci saranno coppie che fanno ruotare il corpo in senso orario, ed altre in senso antiorario: definendo, arbitrariamente, positivo il senso orario, le coppie che agiscono in senso antiorario saranno negative.

Parlando delle coppie, una cosa importante da precisare è che la posizione del punto attorno a cui calcolare i momenti è arbitraria: l’unico vincolo è che questo punto deve essere lo stesso per tutte le coppie.

Direi che è l’ora di passare a degli esempi. Cominciamo con il riprendere in considerazione una leva in equilibrio.

Ricordate la figura? Abbiamo detto che la leva non si muove perché le coppie delle forze Fr e Fm sono uguali:

Frb= Fmbm

E quindi: Fm = Frbr/bm

Tutto giusto, ma incompleto: ci siamo dimenticati della leva e del fulcro! Della leva supponiamo che sia rigida; però, benché sia tirata da due forze diverse alle sue estremità, perché non si muove? Perché sul fulcro si sviluppa una forza Ff che le compensa: Ff = – (Fr + Fm)

Chiarito questo fatto, usiamo un poco di matematica per verificare che è vera la mia affermazione: l’equilibrio delle coppie non cambia cambiando il punto rispetto al quale calcolare i bracci. 

Il punto che abbiamo usato per calcolare le coppie è il fulcro; ora, vi dico che posso usare qualunque altro punto. Vediamo se è vero.

Supponiamo, ad esempio, di usare il punto A (l’estremità sinistra della leva) come riferimento. Rispetto a questo punto abbiamo due momenti: Fm, con braccio br + bm, e Ff, con braccio br. Allora calcoliamo il momento risultante Mr:

Mr = Ff ∙ br – F(b+ bm)

Poiché il modulo di Ff vale (Fr + Fm), si ha:

= (Fr + Fm) ∙ br – Fm ∙ br – Fm ∙ bm = 

= Fr ∙ b+ Fm ∙ br – Fm ∙ br – Fm ∙ bm = 

= Fr ∙ br  – Fm ∙ bm = 

= Fr ∙ br  – Fr ∙ (br/bm) ∙ bm = 

= Fr ∙ br – Fr ∙ br = 0

Quindi, poiché Mr = 0, i momenti, calcolati rispetto ad un altro punto, sono in equilibrio! Potete verificare che questo è vero scegliendo punti qualunque!

Come mio solito, sono partito da un ombrello, e poi vi ho portato molto lontano: è l’ora di ritornare all’ombrello! Visto tutto ciò che abbiamo imparato, cosa possiamo concludere?

La conclusione è che la figura con l’ombrello orizzontale è sbagliata: così come è disegnata, la coppia delle forze F e P fa ruotare l’ombrello, e lo riporta in verticale. E allora, cosa succede? Noi riusciamo a tenere l’ombrello in orizzontale; ma a prezzo di quale sforzo?

Semplifichiamo la situazione, e fingiamo che l’ombrello sia un’asta rigida. Il mio ombrello, arrotondando, pesa 1 kg, è lungo 1 m, ed ha il manico lungo 1 dm. Cosa succede quando lo tengo orizzontalmente?

Ecco schematizzata la situazione: l’ombrello è un’asta lunga 1 m, con baricentro a 50 cm dall’estremità di sinistra, dove lo tengo con la mano.

Abbiamo detto che per equilibrare il peso P = 10 N (1 kg) occorre una forza opposta F1, dove metto la mano, posta a 10 cm dall’estremità; ma abbiamo anche detto che non basta, perché l’ombrello ruoterebbe. Quindi, quando teniamo l’ombrello orizzontale, applichiamo anche alla estremità del manico una seconda forza, F2, diretta verso il basso, che equilibra la coppia data da F1 e P! E quanto valgono F1 e F2? Calcolemus!

La somma delle forze deve essere zero; quindi: F1 = P + F2

La somma dei momenti deve essere zero. Prendo come riferimento l’estremità, dove applico F2; quindi: 

10 ∙ F1 = 50 ∙ P. Da ciò si ricava F1 = 5 ∙ P = 50 N (5 kg)!

Quindi, con alcuni passaggi, calcoliamo anche F2:

10 ∙ (P + F2) = 50 ∙ P

10 ∙ F2 = 40 ∙ P

F2 = 4 ∙ P = 40 N (4 kg)

Quindi, la vostra sensazione era corretta: tenere l’ombrello orizzontale comporta l’applicazione di uno sforzo maggiore, perché dovete generare la coppia di forze formata da F1 ed F2! Vi sembra strano? Provare per credere!

Conclusione: partendo da un ombrello, abbiamo approfondito il concetto di coppia di forze: ci servirà in futuro.

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