La rotazione: giochiamo con la trottola!

Ecco la foto di una trottola: chi non ne ha avuto una?

Vediamo anzitutto come funziona, e poi chiediamoci perché funziona a quel modo.

Anzitutto, la trottola può essere realizzata con materiali e forme diverse, ma ha sempre una forma simmetrica rispetto al suo asse centrale; inoltre, su questo asse si trova anche il punto di appoggio. Quando non gira, la trottola si appoggia su un fianco: farla stare in equilibrio sul suo punto d’appoggio è praticamente impossibile.

Ed ecco che se la facciamo girare ad una velocità sufficientemente elevata, la trottola sta miracolosamente in equilibrio, sul suo punto di appoggio! Però, non si tratta di miracolo: si tratta di una legge fisica.

Capiamoci bene: se la trottola non cade, è perché c’è una forza che la fa stare in piedi. Quindi, il problema è quello di capire da dove viene questa forza.

Abbiamo visto che il secondo principio della dinamica dice che applicando la forza F ad un corpo di massa m, questi accelera con l’accelerazione a = F / m. Abbiamo detto anche che la massa m è l’inerzia che il corpo oppone al suo spostamento.

Questa legge si applica ad un oggetto libero di traslare; la nostra trottola, però, è libera di ruotare attorno ad un asse, e di inclinarsi rispetto a questo asse: in questa situazione, cosa succede?

La prima cosa da chiarire è che noi non applichiamo alla trottola una forza di traslazione, bensì una coppia di forze, che genera la rotazione attorno all’asse. Bene: ma cosa intendo per coppia di forze?

Per imprimere la rotazione alla trottola, la spingiamo su due lati, applicando simultaneamente due forze uguali, ma di segno opposto, che giacciono sullo stesso piano: questa è la coppia di forze. Questo è l’unico modo per far ruotare la trottola: se applicassimo una sola forza, la spingeremmo via, senza metterla in rotazione! La coppia si applica con diversi sistemi: nella foto, la trottola ha, al centro, un’astina elicoidale; in altre trottole si usa uno spago avvolto attorno, oppure si usano le dita…

Vi ricorderete che abbiamo parlato del momento di una forza su una leva; ebbene, nel caso di una coppia di forze F, come quella in figura, il momento è il prodotto della forza per la distanza: nel caso della figura, M = F ˄ 2R.

Non cadete dalla sedia! Vi spiego subito che cosa ho scritto! Però, prima di tutto, vi spiego il perché di questa strana scrittura.

Il perché nasce dal seguente problema: come facciamo a specificare attorno a quale asse ed in quale direzione avviene la rotazione impressa dalla coppia di forze? Noi conosciamo già le grandezze che sono individuate da modulo, direzione e verso: sono i vettori! Quindi, cominciamo a stabilire che ci occorre una maniera per definire modulo, direzione e verso del vettore M. Chiaro sinora? Ed allora, cosa facciamo? Ci rivolgiamo ai signori matematici per avere lumi: esiste uno strumento matematico adatto al nostro caso?

Ebbene, la risposta è affermativa; però, andiamo adagio. Parlando di vettori, vi ho spiegato come sommarli e sottrarli (la regola del parallelogramma); però non vi ho mai spiegato come moltiplicarli: non ci era ancora capitato questo caso. Allora, rovistiamo nella cassetta degli attrezzi dei matematici: che cosa troviamo?

Troviamo che sono definiti due modi diversi di eseguire il prodotto tra due vettori: si chiamano prodotto scalare e prodotto vettoriale.

  • Per il prodotto scalare, dati due vettori A e B, chiamando A e B i loro moduli, e θ (teta minuscolo) l’angolo tra di loro, il prodotto scalare è un numero R che vale: R = A ∙ B ∙ cos(θ)
    Quindi, ripeto: R è un numero, e non un vettore. Il prodotto sarà R = A ∙ B quando θ = 0° (cos θ = 1), e sarà R = 0 quando θ = 90° (cos V = 0). A cosa serve tutto ciò? Non abbiate fretta: ne riparleremo!
  •  Per il prodotto vettoriale, dati due vettori A e B, chiamando A e B i loro moduli, e θ l’angolo tra di loro, il prodotto vettoriale P è un vettore. Il prodotto vettoriale si indica con il simbolo ˄: si scrive PA ˄ B, e si legge: “a vettore b”. Il modulo di P vale: P = A ∙ B ∙ sin(θ); la direzione di P è l’asse ortogonale al piano che contiene i due vettori A e B; il verso di P è quello di avanzamento di una vite destrorsa che gira da A verso B. Di nuovo, non cadete dalla sedia: per il verso si può usare quella che si chiama regola della mano destra (ah, questi matematici!).

Allora, ecco qui una mano destra: cosa dice la sua regola?

  • Mettete a 90° tra di loro pollice, indice e medio;
  • Orientate l’indice come il vettore A;
  • Orientate il medio come il vettore B;
  • Il pollice indica direzione e verso di P.

Ciò stabilito, ritorniamo alla coppia di forze. Voi dite: ma noi abbiamo solo un vettore, la forza F! Il prodotto vettoriale non si applica al nostro caso!

Ebbene, poiché ci occorre un vettore come risultato del prodotto, trasformiamo il raggio R in un vettore, R, che ha il modulo uguale a R, per direzione il raggio dal centro del cerchio (nella leva, il fulcro) al punto di applicazione della forza F; il verso dal centro a questo punto: è quello indicato nel disegno.

E allora, finalmente, ora abbiamo il momento M, prodotto vettoriale di due vettori, ortogonale ad entrambi, la cui direzione coincide con quella dell’asse di rotazione del corpo, ed il cui verso indica la rotazione del corpo, secondo la regola della mano destra (quella dell’angolo θ della figura). Inoltre, poiché F ed R sono ortogonali, e poiché sin(90°) = 1, abbiamo che il modulo di M vale: M = 2∙F∙R

Puff puff! Guardate dove ci ha portati il discorso della trottola! E se vi dico che questo è solo l’inizio?

Ritorniamo alla nostra trottola: quando applichiamo la coppia di forze, opporrà una inerzia prima di ruotare; ma di che tipo? Noi abbiamo studiato il secondo principio della dinamica, ed abbiamo visto la relazione tra una forza applicata ad una massa e la sua accelerazione; qui, però, abbiamo un corpo che gira: è una situazione simile, ma diversa.

Pensiamo ora a due oggetti con la stessa massa: uno è un cilindro, l’altro è un disco. Se applico ad entrambi la stessa coppia attorno al loro asse, a che velocità gireranno? Basta pensare alla velocità periferica dei due oggetti: quello cilindrico raggiungerà una velocità di rotazione maggiore di quella del disco, perché nel disco la massa è più lontana dall’asse di rotazione! E come si esprime ciò?

La rotazione attorno ad un asse risponde ad una legge simile a quella del secondo principio, ma:

  • Invece della forza dobbiamo parlare della coppia M applicata: la sua unità di misura è il Newton per metro, N ∙ m;
  • Invece della massa, dobbiamo introdurre un’altra entità fisica, che tiene conto della forma dell’oggetto messo in rotazione. Questa entità si chiama momento d’inerzia dell’oggetto stesso, ed è indicata con I (i maiuscola): la sua unità di misura è kg ∙ m2;
  • La seconda legge della dinamica si trasforma a questo modo (e prende il nome di seconda equazione cardinale della dinamica): in un corpo che ruota attorno ad un asse, il rapporto tra la coppia applicata ed il momento d’inerzia del corpo rispetto a quell’asse è: α = M / I (come vedete, è simile ad: a = F / m), dove α (alfa minuscolo) è l’accelerazione angolare impressa al corpo, ed ha la stessa direzione e verso della coppia motrice; la sua unità di misura è 1/s2.

Verifichiamo le unità di misura: il Newton è kg ∙ m / s2; il momento angolare M, cioè il prodotto α ∙ I, vale: 1/s2 ∙ (kg ∙ m2); e cioè: kg ∙ m2 / s2: appunto, dei Newton per metro.

NOTA. Ricordiamo che, in un cerchio di raggio R, il radiante è l’angolo sotteso dall’arco la cui lunghezza è R; l’angolo giro vale 2π. Poiché la velocità angolare ω si misura in radianti al secondo e poiché il radiante è un numero puro, la sua unità di misura è 1/s. Analogamente, l’accelerazione angolare α si misura in radianti / (secondo x secondo); quindi, la sua unità di misura è 1/s2.

Per completare il discorso sul moto rotatorio, vi ricordo che la velocità periferica v di un disco di raggio R e velocità angolare ω (omega minuscolo) è: v = ω ∙ R. Inoltre, se α è l’accelerazione angolare di un disco, se la si imprime per il tempo t la variazione di velocità del disco sarà ω = α ∙ t.

Ed ecco la seconda similitudine: così come il primo principio della dinamica dice che un corpo procede di moto rettilineo uniforme sino a quando una forza lo fa deviare (principio d’inerzia), analogamente, un corpo che ruota attorno ad un asse mantiene il suo momento angolare sino a quando una coppia lo modifica: questa è la legge di conservazione del momento angolare, cioè della rotazione di un corpo attorno al suo asse.

Avete mai osservato una pattinatrice (o una ballerina) che gira su sé stessa? Vi siete mai chiesti perchécambia la sua velocità di rotazione?

In particolare, avete mai osservato che la ballerina aumenta la sua velocità angolare quando chiude le braccia? Potete, ora, spiegarmi il perché?

La risposta è che il momento d’inerzia della ballerina è più grande quando ha le braccia aperte rispetto a quando le ha conserte! E allora?

Allora, la ballerina, mentre ruota, ha un momento angolare L, che non cambia quando apre o chiude le braccia. Quindi, se chiamiamo I1 ed I2 il momento d’inerzia a braccia aperte e chiuse, ed ω1 e ω2 le rispettive velocità angolari, poiché:

L = I1 ∙ ω= I2 ∙ ω2, e I> I2, ne consegue che ω2 > ω1.

Il discorso della ballerina mi porta ad un quesito. Avete davanti a voi due uova esternamente identiche: stesso peso, forma, dimensioni: però, uno è crudo ed uno è sodo. Usando le leggi della fisica, come si può distinguere l’uovo crudo da quello sodo? Pensateci: la risposta al prossimo articolo!

La lunga premessa ci porta, finalmente, al fatto che la trottola che gira ha una notevole inerzia di rotazione: in base alla legge di conservazione del momento angolare, una volta avviata gira su sé stessa, e non cade!

Però, direte voi: quando, a poco a poco, a causa degli attriti, la trottola rallenta, inizia a comportarsi in modo strano: invece di cadere, il suo asse s’inclina, ed inizia a ruotare attorno al suo punto di appoggio! Perché?

Credo non vi sorprenderete se vi dirò che la risposta a questo “perché” comporta un altro discorso: quindi, per ora, ci fermiamo qui; però, non prima di dirvi che questo movimento si chiama precessione. E voi, saltando in piedi: ma la Terra ha un moto di precessione! E io: si: la Terra è una trottola!

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