La terra è una trottola

Nell’articolo precedente abbiamo parlato della trottola e del fatto che, mentre se è ferma cade immediatamente quando la lasciamo andare, quando gira dapprima resta diritta in verticale; poi, a causa dell’attrito, perde velocità, ma non cade subito: il suo asse inizia a fare uno strano movimento di rotazione conica attorno alla verticale che passa per il suo punto d’appoggio. Abbiamo detto che questo movimento si chiama precessione: eccolo illustrato.

Abbiamo pure detto che la Terra è anche lei una trottola, con velocità di rotazione piccola rispetto ad una trottola, ma con massa enorme: oltre alla rotazione attorno al suo asse, ha anche un movimento di precessione, che dura in tutto 25.800 anni. La conseguenza è che, mentre oggi l’asse di rotazione terrestre passa per la stella Polare, ai tempi di Cesare era alquanto spostato; tra 12.900 anni, l’asse sarà allineato con Vega, che diventerà la nuova stella polare! 

Ciò detto, veniamo a noi: dobbiamo spiegare il perché del moto di precessione. Tirate un bel respiro: come al solito, la spiegazione è (un poco!) ardua, e richiede l’introduzione preliminare di un altro concetto.

Quando abbiamo parlato dell’hockey da tavolo abbiamo introdotto il concetto di quantità di moto, che è un vettore p dato dalla relazione p = m ∙ v, e che indica l’inerzia del corpo a deviare dal suo movimento. Ora, la quantità di moto si riferisce ad un oggetto con moto rettilineo uniforme; la nostra trottola, invece, ruota attorno al suo asse, con velocità angolare ω. Nell’articolo precedente abbiamo fatto un parallelo tra il secondo principio della dinamica e la legge di rotazione di un corpo attorno al proprio asse; quindi, non vi stupirà sapere che c’è un analogo parallelismo per l’inerzia di un corpo rotante: precisamente:

  • Invece della velocità lineare v dobbiamo parlare della velocità angolare ω;
  • Invece della massa m dobbiamo parlare del momento d’inerzia I (quello che abbiamo già visto, che si misura in kg ∙ m2);
  • Invece dell’impulso p dobbiamo parlare del momento angolare, indicato con L.

Quindi, concludendo, il momento angolare è la quantità che misura l’inerzia di un corpo in rotazione; la formula è: L = I ∙ ωL ha la stessa direzione e verso di ω. Per stabilire l’unità di misura di L, ricordiamo dall’articolo precedente che I si misura in kg ∙ m2, ed ω in 1/s; quindi, L si misura in kg ∙ m2/s. La sua unità di misura è quindi diversa da quella del momento angolare M: L non è una coppia di forze; i due vettori non si possono sommare.

La figura indica la situazione: la trottola è stata sostituita da una sfera di massa m. Allora, vediamo un poco da dove viene fuori il movimento di precessione.

Quando la trottola è ortogonale al piano d’appoggio il suo peso passa per A. Se la trottola s’inclina, di un angolo θ, il suo peso F = m ∙ g, assieme alla reazione (terzo principio!) – F, forma una coppia con braccio r’, a cui corrisponde il momento T = F ˄ r’, che tende a far ruotare la trottola nel senso indicato dalla freccia. Come detto nell’articolo precedente, T è ortogonale sia a F che a r’; quindi, è anche ortogonale a L.

Ma allora, il momento T imprime alla trottola uno spostamento parallelo alla sua direzione e verso, e quindi, ortogonale rispetto a L! Se chiamiamo ΔL la variazione di nel tempo Δt, e ΔΦ (delta maiuscolo e fi minuscolo) il corrispondente spostamento angolare, abbiamo:

T = ΔL / Δt

Quindi, poiché ΔL è perpendicolare a L, il modulo di L non cambia; cioè, l’azione della coppia T non rallenta la trottola! Inoltre, dalla equazione qui sopra riusciamo a calcolare la velocità ωp di precessione. I calcoli ci porterebbero un po’ lontano; il risultato è:

ωp = m ∙ g ∙ r/(I ∙ ω)

Ed ecco perché si genera il movimento di precessione, perpendicolare all’asse della trottola: tutto deriva dalle leggi della dinamica! Contenti? Abbiamo capito!

Ebbene, sia sulla trottola che sulla Terra esiste un altro moto oltre a quello di precessione: il movimento di nutazione. Questo movimento, scoperto da James Bradley nel 1768, è una leggera oscillazione dell’asse di rotazione della Terra (o della trottola). Nella trottola, la nutazione è causata dal fatto che il momento angolare della rotazione, che è il fenomeno principale, si somma al (piccolo, ma non nullo) momento angolare della precessione! Sulla Terra, invece, la nutazione è causata dalle forze di marea del Sole e della Luna; il movimento risultante è illustrato nella figura. Rispetto al piano dell’eclittica, la precessione procede in senso orario, mentre la nutazione procede in senso antiorario. La regola è la stessa della trottola; però, per la Terra, la forza che agisce tende a raddrizzarla; cioè, a portare l’asse di rotazione terrestre ortogonale rispetto al piano dell’eclittica.

Prima di concludere, non ho dimenticato la domanda sulle due uova, una cruda e una soda: come si fa a distinguerle?

La soluzione è semplice: fatele girare rapidamente su sé stesse, fermatele con un dito e poi togliete subito il dito: l’uovo crudo si muoverà ancora un poco, prima di fermarsi del tutto. Perché?

Perché l’uovo sodo è solido; quindi, quando lo fermiamo perde tutto il suo momento angolare. L’uovo crudo, invece, ha un guscio solido, ma all’interno è liquido: quando fermiamo il guscio, la parte interna continua, un poco, a girare! Togliendo il dito, il movimento interno si trasmette anche al guscio, e l’uovo si muove, un poco.

Provate per credere: soltanto, non è colpa mia se fate una frittata!

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